阿貝爾定理表示，如果當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)于適合不等式的一切，該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；反之，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，則對(duì)于適合不等式的一切，該級(jí)數(shù)發(fā)散。
此外，由阿貝爾定理可得到推論，如果冪級(jí)數(shù)既有非零的收斂點(diǎn)，又有發(fā)散點(diǎn)，則必存在一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。
在阿貝爾定理推論的基礎(chǔ)上，可以給出冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間的定義，即滿(mǎn)足阿貝爾定理推論的條件的正數(shù)叫作冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，開(kāi)區(qū)間叫作冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。
定理定義
這個(gè)公式公布不到兩年，卡當(dāng)?shù)膶W(xué)生費(fèi)拉里就找到了四次方程的求根公式。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們非常樂(lè)觀，以為馬上就可以寫(xiě)出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，時(shí)光流逝了幾百年，誰(shuí)也找不出這樣的求根公式。
這樣的求根公式究竟有沒(méi)有呢？年輕的挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯·亨利克·阿貝爾做出了回答：“沒(méi)有?！卑⒇悹枏睦碚撋嫌枰宰C明，無(wú)論怎樣用加、減、乘、除及開(kāi)方運(yùn)算，無(wú)論將方程的系數(shù)怎樣排列，它都決不可能是一般五次方程的求根公式。
阿貝爾率先解決了這個(gè)引人矚目的難題。所以成為阿貝爾定理
定理1（阿貝爾第一定理）
（1）若冪級(jí)數(shù)① 在收斂，則冪級(jí)數(shù)①在都絕對(duì)收斂。（2）若冪級(jí)數(shù)① 在發(fā)散，則冪級(jí)數(shù)①在都發(fā)散。
定理推廣
如果冪級(jí)數(shù)不是僅在一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，那么必有一個(gè)確定的正數(shù)R存在，使得
當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；
當(dāng) 時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；
當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。
定理2
有冪級(jí)數(shù)①，即，若
則冪級(jí)數(shù)①的收斂半徑為
定理3（阿貝爾第二定理）
若冪級(jí)數(shù)①的收斂半徑，則冪級(jí)數(shù)①在任意閉區(qū)間 都一致收斂。
性質(zhì)1
若冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別是正數(shù)與，則
性質(zhì)2
若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則它的和函數(shù)在區(qū)間連續(xù)。
性質(zhì)3
若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,則它的和函數(shù)由0到x可積，且可逐項(xiàng)積分，即
性質(zhì)4
若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,則它的和函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，且可逐項(xiàng)導(dǎo)數(shù)
參考資料
橢圓函數(shù)是從橢圓積分來(lái)的。早在18世紀(jì)，從研究物理、天文、幾何學(xué)的許多問(wèn)題中經(jīng)常導(dǎo)出一些不能用初等函數(shù)表示的積分，這些積分與計(jì)算橢圓弧長(zhǎng)的積分往往具有某種形式上的共同性，橢圓積分就是如此得名的。19世紀(jì)初，橢圓積分方面的權(quán)威是法國(guó)科學(xué)院的耆宿、德高望重的勒讓得（A.M.Legen-dre，1752－1833）。他研究這個(gè)題材長(zhǎng)達(dá)40年之久，他從前輩工作中引出許多新的推斷，組織了許多常規(guī)的數(shù)學(xué)論題，但他并沒(méi)有增進(jìn)任何基本思想，他把這項(xiàng)研究引到了“山重水復(fù)疑無(wú)路”的境地。也正是阿貝爾，使勒讓得在這方面所研究的一切黯然失色，開(kāi)拓了“柳暗花明”的前途。
關(guān)鍵來(lái)自一個(gè)簡(jiǎn)單的類(lèi)比。微積分中有一條眾所周知的公式上式左邊那個(gè)不定積分的反函數(shù)就是三角函數(shù)。不難看出，橢圓積分與上述不定積分具有某種形式的對(duì)應(yīng)性，因此，如果考慮橢圓積分的反函數(shù)，則它就應(yīng)與三角函數(shù)也具有某種形式的對(duì)應(yīng)性。既然研究三角函數(shù)要比表示為不定積分的反三角函數(shù)容易得多，那么對(duì)應(yīng)地研究橢圓積分的反函數(shù)（后來(lái)就稱(chēng)為橢圓函數(shù)）不也應(yīng)該比橢圓積分本身容易得多嗎？
“倒過(guò)來(lái)”，這一思想非常優(yōu)美，也的確非常簡(jiǎn)單、平凡。但勒讓得苦苦思索40年，卻從來(lái)沒(méi)有想到過(guò)它。科學(xué)史上并不乏這樣的例證“優(yōu)美、簡(jiǎn)單、深刻、富有成果的思想，需要的并不是知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的單純積累，不是深思熟慮的推理，不是對(duì)研究題材的反復(fù)咀嚼，需要的是一種能夠穿透一切障礙深入問(wèn)題根的非凡的洞察力，這大概就是人們所說(shuō)的天才吧。“倒過(guò)來(lái)”的想法像閃電一樣照徹了這一題材的奧秘，憑借這一思想，尼爾斯·亨利克·阿貝爾高屋建瓴，勢(shì)如破竹地推進(jìn)他的研究。他得出了橢圓函數(shù)的基本性質(zhì)，找到了與三角函數(shù)中的π有相似作用的常數(shù)K，證明了橢圓函數(shù)的周期性。他建立了橢圓函數(shù)的加法定理，借助于這一定理，又將橢圓函數(shù)拓廣到整個(gè)復(fù)域，并因而發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)是雙周期的，這是別開(kāi)生面的新發(fā)現(xiàn)；他進(jìn)一步提出一種更普遍更困難類(lèi)型的積分——阿貝爾積分，并獲得了這方面的一個(gè)關(guān)鍵性定理，即著名的阿貝爾基本定理，它是橢圓積分加法定理的一個(gè)很寬的推廣。至于尼爾斯·亨利克·阿貝爾積分的反演——阿貝爾函數(shù)，則是不久后由伯恩哈德·黎曼（B.Riemann，1826－1866）首先提出并加以深入研究的。事實(shí)上，阿貝爾發(fā)現(xiàn)了一片廣袤的沃土，他個(gè)人不可能在短時(shí)間內(nèi)把這片沃土全部開(kāi)墾完畢，用埃爾米特（Hermite）的話來(lái)說(shuō)，“阿貝爾留下的后繼工作，夠數(shù)學(xué)家們忙上五百年”。阿貝爾把這些豐富的成果整理成一長(zhǎng)篇論文《論一類(lèi)極廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)》。此時(shí)他已經(jīng)把gaussian置諸腦后，放棄了訪問(wèn)哥延根的打算，而把希望寄托在法國(guó)的數(shù)學(xué)家身上。他婉辭了克雷勒勸其定居柏林的建議后，便啟程前往巴黎。在這世界最繁華的大都會(huì)里，薈萃著像奧古斯丁-路易·柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、勒讓得、拉普拉斯（P.S.LapLace，1749－1827）、傅立葉（I.Fourier，1768－1830）、泊松（S.D.西莫恩·泊松，1781－1840）這樣一些久負(fù)盛名的數(shù)字巨擘，尼爾斯·亨利克·阿貝爾相信他將在那里找到知音。
設(shè)為一冪級(jí)數(shù)，其收斂半徑為 R。若對(duì)收斂圓（模長(zhǎng)為 R的復(fù)數(shù)的集合）上的某個(gè)復(fù)數(shù)，級(jí)數(shù)收斂，則有: 。
若收斂，則結(jié)果顯然成立，無(wú)須引用這定理。
例子和應(yīng)用
阿貝爾定理的一個(gè)有用應(yīng)用是計(jì)算已知收斂級(jí)數(shù)。方法是通過(guò)在級(jí)數(shù)每項(xiàng)后加上項(xiàng)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為冪級(jí)數(shù)求和，最后再計(jì)算 x趨于1 時(shí)冪級(jí)數(shù)的極限。由阿貝爾定理可知，這個(gè)極限就是原級(jí)數(shù)的和。
1. 為計(jì)算收斂級(jí)數(shù)，設(shè)
于是有
2. 為計(jì)算收斂級(jí)數(shù) ，設(shè)
因此有
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