亨利·龐加萊回歸（Poincaré return），又稱龐加萊復現（Poincaré recurrence），是由法國數學家龐加萊于1890年論述的力學體系運動可復性的定理。龐加萊回歸是指任何粒子在經過一個漫長的時間之后必然能回到其無限接近其初始位置的位置（但是不能回到原來位置，只能無限接近）。盡管這個時間的長度遠遠超出了我們的想象，但是它必然會實現。
自然界微觀粒子的隨機運動與熵增原理相關，熱力學第二定律指出孤立系統熵恒增加，易引發“熱寂論”，詹姆斯·麥克斯韋等人曾提出質疑，玻耳茲曼H定理則斷定非平衡態單調趨向平衡；而19世紀末亨利·龐加萊研究表明，孤立有限系統（如封閉容器內氣體）會無限次任意接近初始狀態，即“龐加萊回歸”，其回歸時間雖遠超宇宙壽命，但必然發生，這看似與H定理矛盾；路德維希·玻爾茲曼解釋稱H定理具統計性，平衡態趨向非平衡態幾率極小，二者可相容；1896年策爾梅洛曾研究其可復性。
2018年，奧地利研究人員在多粒子量子系統中演示了龐加萊回歸，證實量子版本定理，即有限粒子數量子體系足夠長時間后會回歸初始狀態附近，這意味著宇宙可能存在漫長輪回。
發現歷史
自然界的微觀粒子無時無刻不在進行著隨機運動，并在運動中消耗能量，根據熱力學第二定律，孤立系統的熵恒增加，是說大的動態系統不可逆地向更高的熵的狀態發展，所以如果從一個低熵的狀態出發，系統永遠不會返回到它。但熵增原理的一個最大的問題是會導致令人絕望的“熱寂論”。1871年開始，詹姆斯·麥克斯韋等人陸續對該定律提出質疑。1872年，L.路德維希·玻爾茲曼在他的《氣體理論》一文中證明了一個重要的定理——H定理。H定理斷定：一個處于非平衡態的系統總是要單調地趨向平衡；而一個已經達到平衡的系統再自動地趨向非平衡是不可能的。
19世紀末，亨利·龐加萊研究了無法以完美精度全面分析的系統，例如由許多行星和小行星組成的太陽系，或者是保持相互碰撞的氣體粒子。他的研究表明：每個物理上可能的狀態都會在某一時刻被系統占有（至少是非常地接近）。如果等的足夠久，在某個時刻，所有的行星將會形成一條直線，如同巧合一樣。盒子中的氣體粒子將會形成有趣的圖案，或者返回實驗開始時它們所處的狀態。龐加萊回歸指的是一個孤立而有限的系統在演化過程中，會無限次任意接近自己的初始狀態，即有限系統的輪回；盡管這個時間的長度遠遠超出我們所能想的，但是它必然會實現，這樣一個周期就稱為一個龐加萊回歸。該理論可應用于能量封閉在其中的系統；龐加萊回歸是現代混沌理論的基礎。
1890年亨利·龐加萊證明了下述定理：系統的Γ相空間（見相宇）中除了一個測度為零的點集以外，對于任意給定的一個從相空間中任一有界區域P出發，以在t=0時使系統從P中任一點P′出發，對任意小的距離ε>0，都存在一個有限的時間t（ε），在這時間間隔內，系統必經相空間的一點P′′，而∣P′P′′∣<ε。
由此定理可以看出運動的可復性。因為從中可以得到結論：放在封閉容器內的任意一個初始狀態經過足夠長的時間后，總要回復到任意接近初始狀態的那個狀態上。由此可見，當H函數隨時間單調地減少以后，只要經過足夠長的時間，它將回復到初始的數值。這個結論似乎同宏觀不可逆性相抵觸，同玻耳茲曼H定理相矛盾。
路德維希·玻爾茲曼對上述矛盾作了明確的回答：H定理具有統計的性質，它只是說非平衡態總以絕對優勢的幾率趨向平衡態，沒有完全否定由平衡態趨向非平衡態的可能性，并不完全排斥H的值偶然增加，運動回復到原狀，只是幾率極其微小，因此反映統計規律的宏觀不可逆性同微觀可逆性并不矛盾。亨利·龐加萊定理雖然明力學系統經過充分長的時間后總可以回復到初始狀態附近，但是，根據龐加萊的證明，對于一般的氣體或液體，若單位體積含有的粒子數為10^23的數量級，那么回復時間的數量級約為10^1023秒，它比迄今知道的宇宙壽命還要大很多的數量級，比趨向平衡的時間大得簡直不可估量，對所有宏觀物體來說，實際上可以看作是無窮大。于是得出結論：從熵小的狀態走向熵大的狀態幾乎是必然的；而從熵大的狀態走向熵小的狀態幾乎是不可能的。玻耳茲曼H定理和龐加萊定理可以相容。
1896年E.策爾梅洛就根據J.-H.龐加萊定理研究了運動的可復性問題。科學家們一直都在研究如何將這個理論應用于量子力學世界，但只在非常少量的粒子上進行了演示，這些粒子的狀態可以被盡可能精準地測量。這一過程極度復雜，而且將系統帶回到其初始狀態的時間，隨著粒子數量的增加而顯著增加。干涉圖樣中也可以發現“龐加萊回歸”，經過一段時間，它將回歸初始的平行圖案。2018年3月，維也納工業大學的研究人員成功地在多粒子量子系統中，演示了“龐加萊回歸”，研究成果發表于《科學》雜志。這證明了龐加萊回歸定理的量子力學版本是：有限粒子數的量子體系，在足夠長時間以后，回歸到初始狀態附近。龐加萊回歸意味著歷史的重演，宇宙萬物存在著漫長的輪回過程。
龐加萊回歸定理
亨利·龐加萊回歸定理是龐加萊在遍歷理論的第一個定理，他研究了下列方程：
，（1）
其中，為開集，且：
1、對?p∈U，（1）以p為初值的解x（p，?）：R→U存在。
2、記，則
3、U的勒貝格測度有限。
亨利·龐加萊發現，對依勒貝格意義下的幾乎所有p∈U，有
由此導致他證明了下述龐加萊回歸定理：設T為概率空間上的保測變換，對任意，令，且存在無限多個n∈Z+，使則。根據上述定理，當X為可分度量空間，為其波萊爾σ代數時，則，即幾乎所有點都是回歸的。
發現者簡介
亨利·龐加萊（Jule-Henri Poincaré1854～1912）是法國數學家、物理學家和天文學家。他1871年入巴黎工藝學院，后就讀礦業學院，1879年獲數學博士學位，此后歷任卡昂大學、巴黎大學教授，當選巴黎科學院院士及院長、法國科學院院士。
龐加萊研究領域廣泛，數學上在自守函數、數論、代數、幾何學、拓撲學、概率論、數學分析等多分支有開創性工作，是19世紀后期數學界權威之一，也是現代直覺主義先驅；天文學上論證了旋轉流體平衡圖形、太陽系穩定性與起源，在三體問題研究中發展了天體力學計算技術；物理學上執教20余年，研究三維連續區、導熱等問題，論證狄利克雷問題。
在19、20世紀之交物理學危機時，他提出危機是變革先兆，主張基于新實驗改造物理學，肯定經典理論價值。他推動了物理學多領域發展，是相對論先驅，還在索爾維會議后深入研究量子論，提出“時間原子”思想。
亨利·龐加萊著有《科學與假設》《科學的價值》《科學與方法》等科學哲學著作，是約定論創始人，其哲學觀點受伊曼努爾·康德、恩斯特·馬赫影響，在科學研究中堅持經驗論，論述了假設、直覺和科學美在科學發現中的作用，對阿爾伯特·愛因斯坦等科學家產生影響。
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