條件概率（英文：Conditional probability）是指在事件在另一個事件已經(jīng)發(fā)生條件下的概率，公式為
通常人們認(rèn)為概率論的鼻祖為法國的數(shù)學(xué)家帕斯卡（Pascal）和皮耶·德·費瑪（Fer-mat），他們引進(jìn)了賭博值的概念。隨后，克里斯蒂安·惠更斯（Huygens）改“值”為“期望”，并出版了《機(jī)遇的規(guī)律》。18世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家null（Thomas Bayes）提出了一種用于推斷未知事件概率的方法，即貝葉斯定理。19世紀(jì)中期，英國null家阿德爾·貝爾和null分別對貝葉斯定理進(jìn)行了深入的研究和推廣，使其成為統(tǒng)計學(xué)和概率論中的基本定理之一。
條件概率具有三個基本性質(zhì)，如非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性等。在概率計算中，與條件概率有關(guān)的公式為乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式。從一維推廣至多維，可引出條件分布的概念。條件概率在實際應(yīng)用中，可以廣泛應(yīng)用于水電發(fā)力、金融風(fēng)險管理、自然災(zāi)害預(yù)測等領(lǐng)域。通過使用條件概率公式，可以更好地理解和預(yù)測事件發(fā)生的可能性，從而做出更準(zhǔn)確的決策。
定義和概念
在實際問題中，除了要知道事件的概率外，有時還需要考慮一個事件的發(fā)生對另一個事件的影響，即在已知某一個事件已經(jīng)發(fā)生的條件下，要求另一事件發(fā)生的概率，由于附加了條件“事件已經(jīng)發(fā)生”，這個概率一般與有所不同，通常記作，并稱為在事件已經(jīng)發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率。
設(shè)定為同一樣本空間的兩個事件，若，則稱
為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率。
同理，設(shè)為同一樣本空間的兩個事件，若，則稱
為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率。
簡史
古典概率論時期
概率論的歷史可追溯至17世紀(jì)法國的數(shù)學(xué)家帕斯卡（Pascal?1623～1662）提出的分賭本問題，他和皮耶·德·費瑪（Fer-mat??1601～1665）在回信中對該問題做了討論。1654年，他們引進(jìn)了賭博值的概念，值等于賭注乘以獲勝概率。 后來，克里斯蒂安·惠更斯（Huygens）改“值”為“期望”，并出版了《機(jī)遇的規(guī)律》，其中的機(jī)遇博弈在概率概念的產(chǎn)生及其運算規(guī)則的建立中，起了主導(dǎo)作用。1713年，雅各布·伯努利出版了《推測術(shù)》，該著作是把概率論由局限于對賭博機(jī)遇的討論拓展出去的轉(zhuǎn)折點和標(biāo)志。伯努利采取把概率分為“主觀概率”和客觀概率的立場，其前三部分，是古典概率的系統(tǒng)化和深化。
分析概率論時期
貝葉斯定理的歷史可以追溯到18世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家（Thomas Bayes）在一本名為《解決機(jī)會主義問題的論文》的書中提出了一種用于推斷未知事件概率的方法，即貝葉斯定理。19世紀(jì)中期，英國家阿德爾·貝爾和分別對貝葉斯定理進(jìn)行了深入的研究和推廣，使其成為統(tǒng)計學(xué)和概率論中的基本定理之一。
幾何意義
條件概率的幾何圖示所示。用正方形表表示整個樣本空間，圖內(nèi)封閉曲線圍成的圖形表示事件，圖形的面積理解為相應(yīng)事件的概率，則事件的無條件概率（邊際概率）為小圓的面積，事件的無條件概率為陰影部分的面積。如果已知事件發(fā)生，則樣本空間收縮為陰影部分，在這個樣本空間中考慮事件發(fā)生的概率，即的條件概率，等于圖中用橫線標(biāo)示部分的面積占陰影部分面積的比例。
推導(dǎo)證明
關(guān)于公式可以這樣推導(dǎo)，已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)與（同時）發(fā)生，要求相當(dāng)于把看做新的基本事件空間來計算發(fā)生的概率，即
其中，表示中包括的基本事件個數(shù)。
性質(zhì)
性質(zhì)1
性質(zhì)2 若，則
性質(zhì)3
性質(zhì)4
相關(guān)計算
概率乘法公式
設(shè)和是任意二事件且，則
。
設(shè)，，，，是任意，個事件，，則
亦稱做一般乘法公式，它與事件的序號無關(guān)。
全概率公式
由概率的完全可加性
再利用乘法公式即得
這公式稱為全概率公式，它是概率論中使用概率最高的一個基本公式。
例如，雨傘掉了。落在圖書館的概率為50%，這種情況下找回的概率為0.80；落在教室里的概率為30%，這種情況下找回的概率為0.60；落在商場的概率為20%，這種情況下找回的概率為 0.05，求找回雨傘的概率。
解：以表示找回雨傘，而以，，分別記雨傘落在圖書館,教室和商場,顯然，，滿足
而且，，，，，，因此
貝葉斯公式
若事件能且只能與兩兩互不相容的事件，，，，之一同時發(fā)生，即
由于
故
再利用全概率公式即得
這個公式稱為貝葉斯定理。
例如，假定用血清甲胎球蛋白法診斷肝癌，，，這里表示被檢驗者患有肝癌這一事件，表示判斷被檢驗者患有肝癌這一事件。又設(shè)在自然人群中?，F(xiàn)在若有一人被此檢驗法診斷為患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率。
解：由貝葉斯公式，
相關(guān)推廣
條件分布離散型
設(shè)二位離散隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合分布列為
，，2，，，2，。
對一切被的，稱
，，2，為給定，
條件下的條件分布列。
同理，對一切使的，稱
，，2，為給定，
條件下的條件分布列。
離散型
設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合密度函數(shù)為，邊際密度函數(shù)為。
對一切使的，給定條件下的條件分布函數(shù)和條件密度函數(shù)分別為為
。
衍生概念
事件的獨立性
對事件及，若
則稱它們是獨立統(tǒng)計的，簡稱獨立的（independent）。
注意，按照這個定義，必然事件及不可能事件與任何事件獨立。此外可看出，與的位置對稱，因此亦稱與相互獨立。
相關(guān)推論
若事件，獨立，且，則
證明 由條件概率定義得
因此，若事件，相互獨立，則關(guān)于的條件概率等于無條件概率，這表示的發(fā)生對于事件是否發(fā)生沒有提供任何信息，獨立性就是把這種關(guān)系從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格定義。
應(yīng)用
水力發(fā)電
條件概率在水力發(fā)電中的應(yīng)用主要涉及調(diào)度策略的優(yōu)化，以提高發(fā)電效率和可靠性。該技術(shù)的應(yīng)用原則是根據(jù)系統(tǒng)中各元素的狀態(tài)和相關(guān)信息進(jìn)行預(yù)測和判斷，計算出其發(fā)生的可能性，從而制定合理的調(diào)度策略。以模糊控制為例，它可以根據(jù)不確定的水資源情況和需求信息進(jìn)行調(diào)度決策，使發(fā)電系統(tǒng)最大限度地利用水能資源，并減少對傳統(tǒng)化石能源的依賴。
金融風(fēng)險管理
概率混合式風(fēng)險資產(chǎn)比較適合于描述金融資產(chǎn)的信用風(fēng)險，只要金融資產(chǎn)發(fā)生信用風(fēng)險的概率可以估計，出現(xiàn)信用風(fēng)險相當(dāng)于是加和部分的作用.對于企業(yè)債券、公司股票和銀行貸款可以嘗試用概率混合式風(fēng)險資產(chǎn)的收益模式來建立模型，進(jìn)而研究其相應(yīng)的投資學(xué)問題。
自然災(zāi)害預(yù)測
由于可把地震的發(fā)生看作在一定的速率下，應(yīng)變能（或錯動勢）隨時間積累的結(jié)果，故在原地復(fù)發(fā)的情況下，復(fù)發(fā)的可能性與當(dāng)?shù)刈詮纳弦淮蔚卣鹨詠斫?jīng)過的時間有關(guān)。若已經(jīng)經(jīng)歷了時間，地震還沒有發(fā)生，則以此為條件，在未來的時段即到中，復(fù)發(fā)地震的可能性的大小用條件概率表示為：
式中，和分別為復(fù)發(fā)概率的密度函數(shù)和分布函數(shù)。
參考資料 >