全概率公式（英文：Total Probability 公式）是概率論中的重要公式，它將對一復雜事件A的概率求解問題轉化為了在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題。其基本思想是把復雜隨機事件分解為若干個互不相容的簡單事件之和，通過計算這些簡單事件的概率，再運用概率的加法公式和乘法公式求得所需結果，使計算化繁為簡。
全概率公式可以通過可列可加性公理以及乘法公式進行證明。弱化全概率公式定義中完備事件組的條件，可得出廣義全概率公式。概率論的一個重要內容是研究怎樣從一些較簡單事件概率的計算來推算較復雜事件的概率，全概率公式和貝葉斯公式正好起到了這樣的作用。全概率公式也可推導出貝葉斯定理，它們通常可以結合使用。
全概率公式廣泛應用于電力、水利、醫藥、經濟、金融等領域，如制藥中可利用全概率公式評分法結合正交設計對配方和制藥工藝進行優化，通過全概率公式可以更好地理解和預測事件發生的可能性，從而做出更準確的決策。
公式內容
設試驗的樣本空間為，為的事件，為的一個完備事件組，且，則。
例題分析
某手機制造企業有兩個生產基地，一個在S市，一個在T市，但都生產同型號手機。S市生產的手機占總數的60%，T市的占40%，兩個基地生產的手機都送到兩地之間的一個中心倉庫，且產品混合放在一起。從質量檢查可知S市生產的手機有5%不合格；T市生產的手機有10%不合格。求從中心倉庫隨機抽出一個手機是不合格品的概率。
解：以表示抽到的是S市生產基地生產的手機，和構成了樣本空間的一個完備事件組，表示抽到不合格的手機，則由已知條件知：
，，，
由全概率公式得：
即從中心倉庫隨機抽出一個手機是不合格品的概率為。
推導證明
概率的可列可加性公理：
若為兩兩互不相容的事件，則有。
概率的乘法公式：
概率的乘法公式是求一隨機試驗中多個事件同時發生的概率的一般公式。設為隨機試驗中的兩個事件，且，則有，該公式表示兩個事件同時發生的概率等于第一個事件發生的概率乘以第一個事件發生條件下第二個事件發生的概率。更一般地，有下面公式：設為一事件組，且，則。
證明：
因為試驗的樣本空間為，為的事件，即：
且互不相容，所以由有限可加性及概率的乘法公式得
實際意義
全概率公式是概率論中一個非常重要的公式，是一種求解復雜事件概率的方法，通常把復雜隨機事件分解為若干個互不相容的簡單事件之和，通過計算這些簡單事件的概率，再應用概率的加法公式和乘法公式求得所需結果，使計算化繁為簡，關鍵是根據問題本身對樣本空間做一個合理的劃分。
從全概率公式的定義可知，使用全概率公式計算目標事件的概率，必須要找到樣本空間的一個完備事件組，而這一完備事件組恰恰可以理解為是產生事件的個原因。全概率公式相當于將產生的全部原因一一進行考察，將每一個可能性都考慮進來，這就是“全”的含義所在。概括地說，“全”指的是對目標事件有貢獻的全部原因，應用中要將全部原因找出來，缺一不可，才構成樣本空間的完備事件組。
相關推廣
完備事件組：
設是一組互不相容事件（即），且，則稱事件組為樣本空間的一個完備事件組。
條件概率公式：
條件概率是指在某隨機事件發生的條件下，另一隨機事件發生的概率，記為。條件概率可以通過下列公式計算：設，則有，或。推廣到多個事件的情況下：設為一事件組，且，則。
廣義全概率公式
設為一概率空間，為中任意事件列（相容或不相容，有限或可列無限多個），使得對一切有，且，令，則對一切有。
此推論去掉了全概率公式定理中“為的一個分割”這一條件，取而代之的是“為事件域中任何事件列（相容或不相容均可）”，弱化了全概率公式定義中“完備事件組”這個條件，這使得已知事件列無論是相容的還是不相容的，都可以直接運用該公式進行計算，具有重要的應用意義。
全概率公式在n維概率空間中的推論
設有維概率空間，其中，為的一個分割，則對一切有，其中為第個樣本空間分割的指標集。
類似理論
貝葉斯公式
設為樣本空間的一個完備事件組，，為滿足條件的任一事件，則。
推導證明：
由條件概率公式的定義可知，對該式的分子用乘法公式、分母用全概率公式得，，即得。
全概率公式與貝葉斯公式的區別
全概率公式是通過已知每種“原因”發生的概率或，求“結果”發生的概率，這里的和又稱為“先驗概率”。而貝葉斯公式則是從已知“結果”發生的條件下分析是由各個可能“原因”引起的條件概率和，所以也有人把貝葉斯公式看成是用來解決“已知結果，分析原因”的問題。這里的和又稱為“后驗概率”。
應用
電氣工程
概率潮流是反映電力系統中各種因素隨機變化對系統運行的影響，通過概率潮流的計算能夠比較深刻和全面地反映隨機性因素對電力系統的節點電壓、支路功率等狀態變量的影響。現代電力系統規模龐大，結構復雜，致使可靠性評估計算中涉及到的元件眾多，系統分析復雜，常常面臨所謂“計算災害”問題，例如傳統的蒙特卡羅計算法存在計算時間與計算精度的矛盾，即為了獲得精度較高的可靠性指標需要進行長時間的模擬計算，而基于全概率公式的概率潮流計算使得隨機變量的數字特征、所擬合的概率密度函數和累積分布函數具有和千萬次抽樣蒙特卡羅法相等同的精度，非常適合現代電力系統的管理運用。
水利工程
人類通過修建水庫、引水灌溉等水利工程進行水資源調控，這種大規模的水事活動對河川徑流形成一定程度的影響，緩解或解決了流域水資源的供需矛盾，但也改變了河川徑流的天然狀態，同時土地開發、水土保持、氣候變化等也不同程度地改變河川徑流情勢，這使得徑流序列在水事活動影響前后將不能認為是同一總體。而傳統的水文頻率計算要求水文事件發生值服從同一總體分布，計算受到限制，此時應用全概率公式可以給出更好的算法。應用全概率公式可推導出具有跳躍變異的非一致分布水文序列頻率的計算公式，該式可以靈活地選用常用的頻率分布組成混合分布，不需要進行水文資料的還原計算，借助于現有的統計計算函數包可完成頻率計算。
醫藥學
全概率公式在醫藥學領域也有廣泛應用。傳染病防控工作的實際調查中，傳染病流行期出行問題屬于敏感或隱私問題，被調查者可能擔心出行后會被隔離或限制活動，因此不排除少量居民隱瞞謊報信息的情況，可根據全概率公式估計被調查者謊報出行的概率，并以此進行危害分析，指導傳染病防控工作的決策，提高防控工作效率，以降低病毒傳播率。制藥中可利用全概率公式評分法結合正交設計對配方和制藥工藝進行優化。
經濟金融
全概率公式在經濟學中亦有廣泛應用。資源稅改革是當前經濟工作中的熱點問題，在制定資源稅征收預期的過程中，利用全概率公式推導出各時刻征收資源稅的概率，進而建立了征收預期下的優化開采模型，得到保證資源有效開采的資源稅表達式。通過模型推導，政府要使企業有效開采資源，施加的政策預期應在未來可以轉換為資源稅。政策預期過程中，企業對未來的稅收可能有兩種理解，一種是上繳稅收，另一種則是政府補貼給企業，參數大小的變化也會加強和減弱政策預期的影響。
全概率公式在投資、保險等一系列不確定問題中亦發揮著重要作用，例如保險公司建立索賠模型，以此希望其產品獲得好的利潤，全概率公式可以用來解決含有多個不同類型隨機變量的問題，在實際應用中，可以利用隨機變量的聯合分布、條件分布及邊緣分布將全概率公式推廣，將一個邊緣密度分解成條件密度，使所要解決的問題簡化。
參考資料 >