平行軸定理（緯線 axis theorem）能夠很簡(jiǎn)易地，從剛體對(duì)于一支通過(guò)質(zhì)心的直軸（質(zhì)心軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，計(jì)算出剛體對(duì)平行于質(zhì)心軸的另外一支直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。讓代表剛體對(duì)于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、代表剛體的質(zhì)量、代表另外一支直軸 z'-軸與質(zhì)心軸的垂直距離。平行軸定理、垂直軸定理、伸展定則，這些工具都可以用來(lái)求得許多不同形狀的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因雅各·史丹納 (Jakob Steiner) 而命名，史丹納定理所指的幾個(gè)理論，其中一個(gè)理論就是平行軸定理。
定理介紹
設(shè)通過(guò)剛體質(zhì)心的軸線為Z軸，剛體相對(duì)于這個(gè)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc。如果有另一條軸線Z‘與通過(guò)質(zhì)心的軸線Z平行，那么，剛體對(duì)通過(guò)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J=Jc+md^2
式中m為剛體的質(zhì)量，d為兩平行軸之間的距離。
上述關(guān)系叫做轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。
驗(yàn)證方法
方法一
剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再加上剛體質(zhì)量與兩軸之間距離平方的乘積，此為平行軸定理。關(guān)于此定理的驗(yàn)證，采用三線擺和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)儀來(lái)驗(yàn)證。在這里利用復(fù)擺驗(yàn)證平行軸定理的方法。
一 實(shí)驗(yàn)方法及公式推導(dǎo)
一個(gè)圍繞定軸擺動(dòng)的剛體就是復(fù)擺，當(dāng)擺動(dòng)的振幅甚小時(shí)，其振動(dòng)周期 T 為
式中J為復(fù)擺對(duì)以O(shè) 為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m為復(fù)擺的質(zhì)量，g為當(dāng)?shù)氐?a href="/hebeideji/8203171427178182005.html">重力加速度，h為擺的支點(diǎn)O到擺的質(zhì)心G的距離。又設(shè)復(fù)擺對(duì)通過(guò)質(zhì)心G平行O軸的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JG，根據(jù)平行軸定理得:
而JG又可寫成 JG= m k 2,k 就是復(fù)擺的回轉(zhuǎn)半徑，由此可將⑴式改成為
整理⑶式得：
當(dāng) h= h1 時(shí)，I1= JG + mh12，式中h1為支點(diǎn)O1到擺的質(zhì)心G的距離，J1是以O(shè)1為軸時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。同理有：
⑷- ⑸得：
上式反映出轉(zhuǎn)軸位置對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，也是對(duì)平行軸定理的檢驗(yàn)。在⑹式中令 y= T2h- T12h1，x = h2-h12，則⑹式變?yōu)?/p>
從測(cè)量可得出n組（x,y)值，用最小二乘法求出擬合直線y= a+ bx及相關(guān)系數(shù)r，若r接近于1，說(shuō)明x與y二者線性相關(guān)，平行軸定理得到驗(yàn)證；或作T2h- T12h1對(duì)h2-h12圖線，若到檢驗(yàn)為一直線，平行軸定理亦得
方法二
測(cè)量舉例
1）測(cè)量步驟
a. 測(cè)定重心G的位置SG
將復(fù)擺水平放在支架的刀刃上，利用杠桿原理尋找G點(diǎn)的位置
b. 量出各支點(diǎn)對(duì)應(yīng)的h值
c. 測(cè)出復(fù)擺繞各支點(diǎn)擺動(dòng)的周期T擺角小于（5°改變支點(diǎn)10次)
2）數(shù)據(jù)記錄
各支點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 h 值及周期T見(jiàn)表1
3）數(shù)據(jù)處理
取 h1= 6 cm,T1= 1.51 s，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)可得出10組（x,y）值，見(jiàn)表2
根據(jù)最小二乘法求出參數(shù) a,b，得出
a= 21×10-2 cm ·s 2,Sa = 18×1010-2 cm s 2
b= 0. 0411s 2 ·cm-1,Sb = 0. 0005 s 2 ·cm-1
r= 0. 999375
在此實(shí)驗(yàn)中，誤差的主要來(lái)源是偶然誤差，所以只計(jì)算A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度作為總的不確定度，略去B類不確定度。結(jié)果a,b 的不確定度為：
u(a) = 18×10-2 cm ·s 2
u (b) = 0. 0005 s 2 ·cm-1
最后結(jié)果為：
a= （21±18） ×10-2 cm ·s 2
b= 0. 0411±0. 0005 s 2 ·cm-1
r= 0. 999375
從最后結(jié)果可以看出，x 與 y 二者完全線性相關(guān)，平行軸定理得到驗(yàn)證
參考資料 >