垂直軸定理（也叫正交軸定理）是一個(gè)物理學(xué)定理，可以用來(lái)計(jì)算一片薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。思考一個(gè)直角坐標(biāo)系，其中兩個(gè)坐標(biāo)軸都包含或平行于此薄片；如果已知此薄片對(duì)于這兩個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則垂直軸定理可以用來(lái)計(jì)算薄片對(duì)于第三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)一薄片建立空間直角坐標(biāo)系，使此薄片位于xoy平面上．令Jx、Jy、Jz分別為此薄片對(duì)于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則有Jz=Jx+Jy。
概念
在物理學(xué)里，垂直軸定理（也叫正交軸定理）可以用來(lái)計(jì)算一片薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。思考一個(gè)直角座標(biāo)系，其中兩個(gè)座標(biāo)軸都包含與平行于此薄片；如果已知此薄片對(duì)于這兩個(gè)座標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則垂直軸定則可以用來(lái)計(jì)算薄片對(duì)于第三個(gè)座標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。
假設(shè)OXYZ座標(biāo)系統(tǒng)的X-軸與Y-軸都包含與平行于此薄片，而Z-軸垂直于薄片的面。與分別代表薄片對(duì)于X-軸與Y-軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．那么，薄片對(duì)于Z-軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為
垂直軸定理、平行軸定理、與伸展定則可以用來(lái)計(jì)算許多不同形狀的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。
證明
任何實(shí)際存在的剛體都有厚度；不可能有零厚度的剛體。參考右圖，假設(shè)這剛體是一塊很薄的薄片，厚度是均勻的，密度也是均勻的。設(shè)定薄片的面與XY-面共平面。那么，剛體對(duì)于X-軸、Y-軸、與Z-軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為，
由于厚度超小于薄片的面尺寸，我們可以忽略z對(duì)于積分的貢獻(xiàn)．因此，
所以，
實(shí)例
a)如圖2，一個(gè)半徑為，質(zhì)量為的薄圓盤(pán)，對(duì)于Z-軸的轉(zhuǎn)動(dòng)
慣量為。
所以，對(duì)于X-軸與Y-軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是
b)如圖3，一個(gè)尺寸為，質(zhì)量為的長(zhǎng)方形薄片，
對(duì)于X-軸、Y-軸、與Z-軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為
很明顯地，
。
應(yīng)用
與平行軸定理、伸展定則一樣，垂直軸定理可以用來(lái)計(jì)算許多不同形狀的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。
1.剛體的一般性垂直軸定理為求三度剛體，特別是圓柱體和旋轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量提供了一種簡(jiǎn)單而又有力的計(jì)算工具。對(duì)于軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已知的旋轉(zhuǎn)體，為求橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，該定理總是最簡(jiǎn)單的計(jì)算程序。
2.對(duì)于正多面體，只要當(dāng)由對(duì)稱性使得時(shí)，剛體的一般性垂直軸定理提供的計(jì)算程序也是最簡(jiǎn)單的。
拓展
??平行軸定理
??轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
參考資料 >