功（英語：work），也叫機(jī)械功。如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功。功是物理學(xué)中表示力對位移的累積的物理量。與機(jī)械能相似的是，功也是標(biāo)量，國際單位制單位為焦耳。“功”一詞最初是由法國數(shù)學(xué)家賈斯帕-古斯塔夫·科里奧利創(chuàng)造。
單位定義
國際單位制單位為焦耳。焦耳被定義為用1牛頓的力對一物體使其發(fā)生1米的位移所做的機(jī)械功的大小，單位定義為1J=1N·m=1kg·m2·s?2
功的定義（一維）
在一維運(yùn)動（即在一條直線上的運(yùn)動）中，如果物體因?yàn)榱從A運(yùn)動到B，位移了x，物體做了W的功。
定義?為F在一小段位移dx下做的功為dW。
兩端積分：?，這是功的一般定義。
根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律：
速度定義式：?(可以理解為在一段時間dt內(nèi)的位移距離為dx，當(dāng)dt趨于0時，v是瞬時速度）
加速度定義式：?（可理解為在一段時間dt內(nèi)的增加速度為dv，當(dāng)dt趨于0時，a是瞬時加速度）
積分可代換為。（其中?和?分別是物體在A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度）
如果物體做勻速運(yùn)動（速度可為0），那么物體總功為零；
如果物體受到的力合力為F，而初運(yùn)動和末運(yùn)動的位移方向與F相同，那么這個物體做正功；
如果物體受到的力合力為F，而初運(yùn)動和末運(yùn)動的位移方向與F相反，那么這個物體做負(fù)功；
功是標(biāo)量，其正負(fù)僅表示能量轉(zhuǎn)化方向，不代表大小。例如，+3J的功比-5J的功小。
功的定義（三維）
在三維運(yùn)動（即在一個空間中的運(yùn)動）中，如果物體因?yàn)榱從A運(yùn)動到B，位移了r，物體做了W的功,
，i,j,k分別是x,y,z的正方向單位向量，定義?為物體從A到B所做的功。
根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律：
速度定義式：
加速度定義式：
我們把三維運(yùn)動分解為三個方向的一維運(yùn)動，就有計算公式：
速度的x，y，z正方向的投影用下標(biāo)表示。
特別的當(dāng)所有向量的z方向?yàn)?時，是二維運(yùn)動的總功，如果y方向也為0時，是一維運(yùn)動的總功，與之前的定義是不矛盾的。
功的公式
?(初中階段，力方向與位移方向的夾角為0，即，所以)
推導(dǎo)：
在二維運(yùn)動中，
F是恒定力（即始終不改變的力），s是物體位移，從A到B，α是F與x軸夾角，θ是s與x軸夾角，如果我們令，那么只需要取s是正方向，垂直于s的是y軸就可以了，那么第二項(xiàng)就為0，，故
做功的兩個因素：
1.作用在物體上的力
2.物體在這個力的方向上移動的距離
注：功的公式只能計算一個力或一個合力所做的功，如要算總功，需用速度與質(zhì)量的公式。
單位解釋
如果一個力作用在物體上，物體在這個力的方向上移動了一段距離，力學(xué)里就說這個力做了功。即使存在力，也可能沒有做功。例如，在勻速圓周運(yùn)動中，向心力沒有做功，因?yàn)樽鰣A周運(yùn)動的物體的動能沒有發(fā)生變化。同樣的，桌上的一本書，盡管桌對書有支持力，但因沒有位移而沒有做功。
總的來說不做功的情況有三種：不勞無功、有勞無功和垂直無功。（不勞無功：只移動了距離，但在這移動的方向上沒產(chǎn)生力，即0·Fs·cosα=0焦耳；有勞無功：只有力，卻在力的方向上沒有移動一定的距離，F(xiàn)·0·scosα=0焦耳；垂直無功：物體既受到力，又通過一段距離，但兩者方向互相垂直，F(xiàn)scos90°=Fs·0=0J。）此外，熱傳導(dǎo)不被認(rèn)為是做功，因?yàn)槟芰勘晦D(zhuǎn)化成了微觀原子的振動而非宏觀的位移。
PS：功的實(shí)質(zhì)就是力的空間累積。
基本信息
力與物體在力的方向上通過的距離的乘積稱為機(jī)械功（mechanical?work)，簡稱功。功定義為力與位移的點(diǎn)積。其中，W表示功，F(xiàn)表示力，而dx?表示與外力同方向的微小位移；上式應(yīng)表示成路徑積分，a是積分路徑的起始點(diǎn)，b?是積分路徑的終點(diǎn)。為了了解物體受力作用，經(jīng)過一段距
離后所產(chǎn)生的效應(yīng)，而定義出功的概念。
功是標(biāo)量，所以功的正、負(fù)不表示方向。功的正負(fù)也不表示功的大小。它僅僅表示是動力對物體做功還是阻力對物體做功，或者說是表示力對物體做了功還是物體克服這個力做了功。若要比較做功的多少，則要比較功的絕對值，絕對值大的做功多，絕對值小的做功少。功是能量變化的量度，做功的多少反映了能量變化的多少，功的正負(fù)則反映了能量轉(zhuǎn)化的方向（注意：不是空間的方向）
判斷一個力對物體是否做功，可根據(jù)該力和物體位移方向的夾角是否為90°，或力與物體速度方向的夾角是否總是90°來確認(rèn)力是否對物體做功。夾角大于90°時功為負(fù)，夾角小于90°時功為正。所以力的作用是相互的。距離是兩物體之間的差。機(jī)械功W=Fs。
國際單位
國際單位制中功的單位為焦耳（J）。焦耳被定義為用1牛頓的力對一物體使其發(fā)生1米的位移所做的機(jī)械功的大小。量綱相同的單位牛頓米有時也使用，但是一般牛·米用于力矩，使其跟功和能區(qū)別開。
非國際單位制單位包括爾格、英尺·磅等。
在國際單位中，功的單位是焦耳，簡稱‘焦’，符號為J，單位為J，由英國物理學(xué)家焦耳（James?Prescott?joule，1818~1889）對科學(xué)的貢獻(xiàn)而命名的。
單位內(nèi)容
功等于力與物體在力的方向上通過距離的乘積。
對于一移動的物體而言，作功量/時間可以從距離/時間（即速度V）來計算。因此，在任何時刻，力所作的功率（焦耳/秒、瓦），其值為力的點(diǎn)積（向量）和作用點(diǎn)上的速度矢量。力的標(biāo)量積和速度被歸類為瞬時功率。
而正如速度可能會隨著時間的推移以獲得更長的距離，同一條路徑上的總功率也同樣是作用點(diǎn)沿著同一條路徑上之瞬時功率的時間積分的總和。
功是指質(zhì)點(diǎn)受外力作用位移而產(chǎn)生的量，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)移動時，它沿著曲線X和速度V在所有的時間t。少量的功W發(fā)生在瞬時時間t能夠?qū)懗桑?/p>
其中F.v是在t內(nèi)的瞬時功率，這些少量功的總合超過該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動位移所產(chǎn)生的功量。
其中C的位移是從x（T1）到x（t2），計算質(zhì)點(diǎn)位移的積分。
如果力的方向總是沿著這條線，力的大小為F，那么此積分可簡化為:
其中s是沿著直線的位移，假設(shè)F固定，且沿著此直線，則此積分可進(jìn)一步簡化成：
其中d是質(zhì)點(diǎn)沿著直線前進(jìn)的距離。
此計算可歸納為恒定力并非延著線而是沿著質(zhì)點(diǎn)。在此情況下點(diǎn)的乘積F·，其中θ是力向量和運(yùn)動方向之間的角度。即：
一般常見的情況，施加的力和速度矢量對身體成90角（中央力朝下身體繞一圓圈運(yùn)動），由于為0，所以不作功。因此可以延伸至重力對于星球在圓形軌道上運(yùn)動不作功（此為理想情況，一般情況下軌道略呈橢圓形）。
此外身體作一等速圓周運(yùn)動受到機(jī)械外力作用時，作的功也為0，就像在一理想情況之無摩擦力的離心機(jī)中作等速圓周運(yùn)動一般。
計算功在時間和力作用在一直線路徑上的數(shù)值只適用在最簡單的情況下，如上文所述。如果力會變化，或身體延曲線方向移動，物體可能轉(zhuǎn)動甚至并非剛性物體，那么其所作的功只和作用力的角度、路徑有關(guān)，并且只有部分的力平行在作用點(diǎn)上形成的速度才作功（相同方向?yàn)檎捶较驗(yàn)樨?fù)值），此處的力可以被描述為標(biāo)量或是切線分量的標(biāo)量。（，其中θ是力和速度之間的夾角）。
至于功最普遍的定義如下：力所的功是其延著作用點(diǎn)上的路徑之切線分量的標(biāo)量也就是線性積分。
轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)動
轉(zhuǎn)矩是從相等但方向相反的力作用于剛性體上兩個不同的點(diǎn)所形成。這些力總合為零，但它會對物體影響形成轉(zhuǎn)矩Τ，計算作功形成的轉(zhuǎn)矩公式為：
，其中T.ω是作用在時間點(diǎn)t上。這些少量的功之合大于剛性體運(yùn)動軌跡所產(chǎn)生的功。
，此積分是計算剛體延軌跡運(yùn)動與時間變化的角速度ω，可以說與運(yùn)動的路徑息息相關(guān)。
如果角速度向量保持恒定的方向，那么可以寫成：
，其中φ為轉(zhuǎn)動角度，單位矢量S。在此情況下，功的轉(zhuǎn)矩可寫成：
，其中C是從φ（t1）到φ（t2）的運(yùn)動軌跡。此積分取決于φ（t）的值，因此與路徑相關(guān)。
如果轉(zhuǎn)矩T與角速度矢量一致，那么可寫成：
而且若轉(zhuǎn)矩和角速度是恒定的，那么功可寫成這個形式：
A?force?of?constant?magnitude?and?perpendicular?to?the?lever?arm
此結(jié)果可以更簡單的理解，如圖所示。這股力將通過圓弧的距離，所作的功即是：
，導(dǎo)出轉(zhuǎn)矩，得：
以上，請注意只有轉(zhuǎn)矩在角速度向量方向的部分才有作功。
力與位移
力與位移都是矢量。功是力與位移的點(diǎn)積，為標(biāo)量。
（1）
其中是力矢量和位移矢量的夾角。
為使此式正確，力須為常矢量，路徑須為一條直線。
如力隨時間變化或路徑不為直線，上式不再適用，此時需使用曲線積分。故功的一般公式為：
（2）
其中
是路徑；
力矩所做功可由下式計算得到：
其中為力矩。
計算方式
普通的與物體位移同線同向的功的計算：、
s表示力使物體位移的距離即物體在力的方向上移動的距離（實(shí)質(zhì)是力的作用點(diǎn)的位移）。
電功的計算公式：；；
（電功率公式的變形）需注意的是，最后兩個公式僅適用于純電阻電路，即只有電阻工作的電路，而前兩個公式是通式，任何電路都適用。
任何機(jī)械都只能省力（或省距離）不能省功。
下面是不同物理位移線方向的功：
（初中學(xué)階段只考慮在一條直線上做的功所以cosα只考慮取1）
其中，W表示功，F(xiàn)表示力，α為力與位移之間的夾角。
由于物體的運(yùn)動具有相對性，對不同參照系，位移不同，所以力所做的功與參照系的選取有關(guān)
功為標(biāo)量，功的正負(fù)僅表示動力對物體做功還是阻力對物體做功，或者說是表示力對物體做了功還是物體克服這個力做了功，不表示大小或方向，功的表達(dá)式是一個過程式，是一個過程量。
功的原理
內(nèi)容：使用任何機(jī)械都不省功。
表達(dá)式：(理想實(shí)驗(yàn)，忽略摩擦繩重等）
力與位移
力與位移都是向量。功是力與位移的點(diǎn)積，為標(biāo)量。
(1)?其中θ是力矢量和位移矢量的夾角。
為使此式正確，力須為常矢量，路徑須為一條直線。
如力隨時間變化或路徑不為直線，上式不再適用，此時需使用線積分。故功的一般公式為：
(2)?其中?C是路徑；是力矢量；是位移矢量。表達(dá)式是一個非恰當(dāng)微分，與路徑有關(guān)，求微分后不能得到。
非零力可以不做功，這一點(diǎn)與沖量不同。沖量是力對時間的累積。沖量是矢量，所以圓周運(yùn)動時雖向心力不做功，但產(chǎn)生了對物體的非零沖量。
力矩所做功可由下式計算得到：
其中為力矩。
與能的關(guān)系
一個物體對外做了多少功，它就減少了多少能量。反之，外界對一個物體做了多少功，這個物體的能量就增加了多少。（功與能單位相同）
比較快慢
方法一：
做功相同，比時間。時間越短，做功越快。
方法二：
時間相同，比做功。做功越多，做功越快。
方法三：
做功和時間均不相同，比比值。做功/時間的值越大，做功越快。
參考資料 >