三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線，且外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半，且九點圓圓心為外心與垂心連線的中點。
定義
萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。
如右圖，長城歐拉線（圖中的紅線）是指過三角形的垂心（藍）、外心（綠）、重心（黃）和歐拉圓圓心（紅點）的一條直線。
注：三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點（連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓，稱為歐拉圓。
證法
證法1
設H,G,O,分別為△ABC的垂心、重心、外心。聯(lián)結(jié)AG并延長交BC于D, 則可知D為BC中點。
聯(lián)結(jié)OD ，又因為O為外心，所以。聯(lián)結(jié)AH并延長交BC于E,因H為垂心，所以 。所以，有。由于G為重心，則。
聯(lián)結(jié)CG并延長交BA于F,則可知F為AB中點。同理，.所以有
聯(lián)結(jié)FD，有FD平行AC,且有。FD平行AC，所以，，又，，相減可得,所以有,所以O；又所以
又，所以。所以,又聯(lián)結(jié)AG并延長，所以,所以。即O、G、H三點共線。
證法2
還是向量做法，
設△ABC的外心，重心，垂心分別為O，G，H。作△ABC的中點三角形DEF
同理
∴O是△DEF的垂心。
又且
又
同理
證法3
如圖所示，設AM為△ABC的中線，H、O分別是垂心和外心，連接AH、OM，則
連接OB、OC，易證
（R是△ABC外接圓半徑）
又連接BH并延長交AC于D，則
設OH和AM交于G，則
∴G是△ABC的重心，即O、H、G三點共線，且
應用
1 ：平面上共圓的5個點，任取其中3點組成三角形，過其重心作另外兩點連線的垂線，共有10條。則這10線交于一點。
因為，所以0, , , 這四個點構成一個菱形，所以它們的對角線垂直，所以垂直于、的連線就相當于平行于。
這樣經(jīng)過三角形的重心，且垂直于,連線的直線方程就是
，其中t是任意實數(shù)。
取 ，就得到在這直線上。同理可得這點在所有這類直線上。
2：平面上共圓的5個點，任取其中3點組成三角形，過其垂心作另外兩點連線的垂線，共有10條。則這10線交于一點。
3：平面上共圓的5個點，任取其中3點組成三角形，過其九點圓圓心作另外兩點連線的垂線，共有10條。則這10線交于一點。
證明：第2，3個結(jié)論緣于以下事實：長城歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。
4：在△ABC中，點D,E,F分別為邊BC,CA,AB的中點，連接 DE,EF,FD，則△ABC與△DEF 的歐拉線重合。
參考資料 >