漸伸線(evolvent)，也稱漸近線。與一條曲線C的所有切線相交成直角的曲線Γ，稱為曲線C的漸伸線。當(dāng)一根繩正沿著另一曲線繞上或脫下時(shí)，它描出一條漸伸線。漸伸線的形狀見于鷹嘴、鯊魚背鰭和棕櫚懸葉尖端。機(jī)器齒輪，齒兩側(cè)曲線(齒郭曲線）大多采用漸伸線。
簡(jiǎn)介
如圖1(a)所示，與一條曲線C的所有切線相交成直角的曲線Γ，稱為曲線C的漸伸線（漸近線）；原曲線C稱為(對(duì)它的任意漸伸線) 的漸屈線。同一條平面曲線(漸屈線)，有無(wú)限條漸伸線。任何兩條漸伸線對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離是常數(shù)。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。在曲線上只有一條漸屈線。
一條直線在一個(gè)圓上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)，直線上一定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡稱為“圓的漸伸線”，而稱該圓為漸伸線的“基圓”，直線為漸伸線的“發(fā)生線”，如圖1(b)所示。即若在圓周繞有無(wú)彈性的細(xì)繩，且保持這個(gè)圓固定不動(dòng)，而將細(xì)繩拉緊并逐漸展開，，讓該線繞圓軸運(yùn)動(dòng)且始終與圓軸相切，那么線上一個(gè)定點(diǎn)在該平面上的軌跡就是漸伸線。
漸伸線的形狀僅取決于基圓的大小，基圓越小，漸伸線越彎曲；基圓越大，漸伸線越平直；基圓為無(wú)窮大時(shí)，漸伸線為斜直線。
參數(shù)方程
若基圓的半徑為r，以基圓圓心為原點(diǎn)建立坐 標(biāo)系，則可得漸開線的參數(shù)方程：
式中，為定點(diǎn)與圓心連線和X軸間的夾角。
性質(zhì)
（1）漸開線的發(fā)生線展直前后長(zhǎng)度不變，即發(fā)生線沿 基圓滾過的長(zhǎng)度等于基圓上被滾過的弧長(zhǎng)，如圖2(a)中，弧。
（2）漸開線上任一點(diǎn)的法線必與基圓相切。KB為漸開線在K點(diǎn)的法線，發(fā)生線沿基圓作純滾動(dòng)，所以線段為漸開線上點(diǎn)的法線，且必與基圓相切。B是漸開線K點(diǎn)處的曲率中心，BK是曲率半徑；A處的曲率半徑為0。漸開線各點(diǎn)的曲率半徑是變化的，K點(diǎn)離基圓越遠(yuǎn)，曲率半徑越大，漸開線形狀越平緩。如圖2(b).
（3）漸開線的形狀取決于基圓的大小，同一基圓上的漸開線形狀完全相同。基圓越大漸開線越平直，基圓半徑為無(wú)窮大時(shí)，漸開線就成為直線，如圖2(c)。
（4）因漸開線是從基圓開始向外展開的，故基圓以內(nèi)無(wú)漸開線；漸開線上各點(diǎn)壓力角不相等。離基圓越遠(yuǎn)，壓力角越大。如圖2(d)。
漸伸線的畫法
（1）畫法1：固定一圓柱形物體，在側(cè)面繞緊一圈細(xì)線，細(xì)線長(zhǎng)度 足夠。將線外端連在一支筆上。用筆尖拉緊細(xì)線，將線逐漸從圓周上伸直、展開，筆尖就會(huì)畫出圓的漸伸線。
（2）畫法2：已知圓的直徑D，如圖3所示，畫漸伸線的方法為：
1）將圓周分成若干等分(圖中為12等分)，將周長(zhǎng)作相同等分；
2）過周長(zhǎng)上各等分點(diǎn)作圓的切線；
3）在第一條切線上，自切點(diǎn)起量取周長(zhǎng)的一個(gè)等分（）得點(diǎn)1；在第二條切線上，自切點(diǎn)起量取周長(zhǎng)的兩個(gè)等分（）得點(diǎn)2；依此類推得點(diǎn)3、4、……、12；
4）用曲線板光滑連接點(diǎn)1、2、3、……、12。即得圓的漸伸線。
5）以此類推，可以畫出圓第二圈、第三圈、...的漸伸線。
漸伸線的應(yīng)用
機(jī)器齒輪齒兩側(cè)曲線(齒郭曲線）大多采用漸伸線，以獲得穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)比，保證運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)，減小震動(dòng)，稱為漸開線齒輪。
參考資料 >