伽遼金法（Galerkin's method），由蘇聯(lián)工程師、數(shù)學(xué)家伽遼金（1871年-1945年）提出的求解微分方程的數(shù)值計(jì)算方法。它是利用函數(shù)展開把微分方程邊值問題離散化的一種近似方法，也是加權(quán)殘數(shù)法的一種特殊但應(yīng)用最廣泛的形式。
伽遼金法既可以近似求解偏微分方程的邊值問題，也可以近似求解常微分方程的邊值問題；也可用于確定連續(xù)體振動(dòng)的固有頻率和振型函數(shù)，將分離變量后的空間方程離散化導(dǎo)出矩陣特征值問題。
伽遼金法原則上可以分析任何已具備振動(dòng)方程的系統(tǒng)。不局限于保守系統(tǒng)，也不要求連續(xù)振動(dòng)系統(tǒng)有自伴性。更重要的是，伽遼金法不局限于線性振動(dòng)，可將描述連續(xù)體非線性振動(dòng)的非線性偏導(dǎo)數(shù)方程離散為非線性常微分方程組。在研究非保守非線性問題時(shí)，試函數(shù)通常選為相應(yīng)保守線性系統(tǒng)的振型函數(shù)。
內(nèi)容簡(jiǎn)介
伽遼金方法（Galerkin method）是由俄羅斯數(shù)學(xué)家鮑里斯·格里戈里耶維奇·伽遼金（俄文：Борис Григорьевич Галёркин）發(fā)明的一種數(shù)值分析方法。應(yīng)用這種方法可以將求解微分方程問題（通過方程所對(duì)應(yīng)泛函的變分原理）簡(jiǎn)化成為線性方程組的求解問題。而一個(gè)高維（多變量）的線性方程組又可以通過線性代數(shù)方法簡(jiǎn)化，從而達(dá)到求解微分方程的目的。
必須強(qiáng)調(diào)指出的是，作為加權(quán)余量法的一種試函數(shù)選取形式，伽遼金法所得到的只是在原求解域內(nèi)的一個(gè)近似解（僅僅是加權(quán)平均滿足原方程，并非在每個(gè)點(diǎn)上都滿足）。
表達(dá)介紹
伽遼金法直接針對(duì)原控制方程采用積分的形式進(jìn)行處理，它通常被認(rèn)為是加權(quán)余量法的一種。這里先介紹加權(quán)余量法的一般性方程。考慮定義域?yàn)閂的控制方程，其一般表達(dá)式為：
Lu=P
精確解集u上的每一點(diǎn)都滿足上述方程，如果我們尋找到一個(gè)近似解ū ，它必然帶來一個(gè)誤差ε（x），把它叫做殘差，即：
ε (x)=Lū-P
近似方法要求殘差經(jīng)加權(quán)后他在整個(gè)區(qū)域中之和應(yīng)為0，即：
∫ v[ Wi· (Lū-P)]dV=0 其中i=1,2,...,n
選取不同的加權(quán)函數(shù)Wi會(huì)得到不同的近似方法。
對(duì)于伽遼金法來說，加權(quán)函數(shù)Wi一般稱為形函數(shù)Φ（或試函數(shù)），Φ的形式為
Φ=ΣΦi·Gi
其中Gi（i=1,2,...,n）為基底函數(shù)（通常取為關(guān)于x,y,z的多項(xiàng)式），Φi為待求系數(shù)，這里將加權(quán)函數(shù)取為基底為Gi的線性組合。
另外，一般近似解ū的構(gòu)造也是選取Gi為基底函數(shù)，即
ū=ΣQi·Gi
其中，Qi為待定系數(shù)。
綜上可得伽遼金法的表達(dá)形式如下：
選擇基底函數(shù)Gi，確定 ū=ΣQi·Gi中的系數(shù)Gi使得
∫ v[ Φ· (Lū-P)]dV=0
對(duì)于Φ=ΣΦi·Gi類型的每一個(gè)函數(shù) Φ都成立，其中系數(shù)Φi為待定的，但需要滿足Φ其次邊界條件。求解出Qi之后，就能得到近似解ū。
理論基礎(chǔ)
伽遼金法在力學(xué)中遵循的是虛功原理和流體力學(xué)中的虛功率原理。虛功原理即：對(duì)于滿足理想約束的剛體體系上作用任何的平衡力系，假設(shè)體系發(fā)生滿足約束條件的無限小的剛體位移，則主動(dòng)力在位移上所做的虛功總和恒為零（內(nèi)虛攻總等于外虛功）。虛功率原理類似于力學(xué)中的最小勢(shì)能原理，流場(chǎng)外力所做的虛功率等于流場(chǎng)內(nèi)應(yīng)力及慣性力的虛功率。
應(yīng)用及優(yōu)缺點(diǎn)
伽遼金法可廣泛用于各種數(shù)學(xué)物理工程問題，特別是流體力學(xué)中的有限元方法，主要采用的就是伽遼金法或其改進(jìn)方法。相對(duì)于瑞利-里茲法，兩者雖然在某個(gè)特定的條件是等效的，但是伽遼金法是直接針對(duì)原始微分方程推導(dǎo)出來的，也適用于不能給出泛函（需對(duì)其求極小值）的那些問題，伽遼金法比瑞利-里茲法更有優(yōu)勢(shì)。但是應(yīng)當(dāng)注意的是，伽遼金法雖然具有精度高、適用性較廣的優(yōu)點(diǎn)，但是對(duì)它的數(shù)學(xué)原理研究還不是很清楚，收斂性的許多問題仍有待解決。
雖然有限元方法在流體力學(xué)中應(yīng)用時(shí)主要采用的就是伽遼金法，但是對(duì)于某些流體力學(xué)問題，如對(duì)流擴(kuò)散問題（由于對(duì)流擴(kuò)散方程存在非線性的對(duì)流項(xiàng)）會(huì)經(jīng)常因?yàn)橛邢拊W(wǎng)格不恰當(dāng)而造成有限元數(shù)值解的失真或振蕩。對(duì)于這個(gè)缺陷，可以通過加密網(wǎng)格解決，但是這樣會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量大大增加，并不實(shí)用；此外Heinrich和Zienkiewicz等人于1977年提出采用迎風(fēng)格式優(yōu)化伽遼金法，從而在不增加計(jì)算量的基礎(chǔ)上解決了這個(gè)問題。
另外伽遼金法及其一系列改進(jìn)方法，如混合伽遼金法，最小二乘/伽遼金法等，都會(huì)產(chǎn)生非正定對(duì)稱剛度矩陣，從而導(dǎo)致其方程組求解的計(jì)算量較大，所以至今未能大范圍用于計(jì)算流體力學(xué)中。
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參考資料 >
伽遼金法.中國(guó)大百科全書.2024-03-20