正常橢球(水準橢球)面上的重力稱為正常重力。正常重力值可由正常重力公式計算求得，正常重力值只與緯度有關，與經度無關，其極大值在兩極，極小值在赤道。假設地球是一個密度均勻而且光滑的理想橢球體，或是一個密度成層分布的光滑橢球體，在同一層內密度是均勻的、各層的界面也都是共焦旋轉橢球面，則球面上各點的重力位或重力值可以根據地球的引力參數、地球長半徑、扁度、自轉角速度等計算得出，由此計算出的重力值稱為正常重力值。正常重力是由意大利數學物理學家卡洛·索米里安在1929年引入的概念，它在大地測量學與地球物理學的研究中常用于對真實地球所產生的重力進行近似。正常重力與真實重力之間的比例約為99.995%。
數學表達
設正常橢球體在其外部空間產生的正常重力位為 \( U \)，則正常重力矢量被定義為該正常重力位的梯度：
\[ \boldsymbol{\伽馬發(fā)動機} = \nabla U \]
在橢球坐標系 \( (u,\beta ,\lambda ) \) 中，正常重力矢量的三個分量具體表示為：
\[ \gamma_u = \frac{1}{w}\frac{\partial U}{\partial u} \]
\[ \gamma_\beta = \frac{1}{w\sqrt{u^2+E^2}}\frac{\partial U}{\partial \beta} \]
\[ \伽馬發(fā)動機_\lambda = \frac{1}{\sqrt{u^2+E^2}\cos\beta}\frac{\partial U}{\partial \lambda} = 0 \]
上式中的 \( w = \sqrt{\frac{u^2+E^2\sin^2\beta}{u^2+E^2}} \) 是為簡化公式而引入的輔助量，\( E \) 是橢球的半焦距。又因正常重力位 \( U \) 與經度無關，所以正常重力矢量的經度分量為零。
計算公式
正常重力的計算涉及到正常橢球體的幾何性質，其確定只需要四個基本參數：橢球的半長軸 \( a \)、幾何扁率 \( f \)、赤道上的正常重力值 \( \gamma_e \)，以及地球自轉的角速度 \( \omega \)。其他的幾何參數可以由上述基本參數確定。例如，橢球的半短軸 \( b = a(1-f) \)，橢球的第一偏心率 \( e = \sqrt{a^2-b^2}/a = 2f-f^2 \)，橢球的第二偏心率 \( e' = \sqrt{a^2-b^2}/b \)。亦有一些坐標系統(tǒng)會選擇其他的基本參數，例如GRS80橢球選用的是地心引力常數 \( GM \)、地球動力學形狀因子 \( J_2 \)、地球自轉角速度 \( \omega \) 和橢球的半長軸 \( a \)，但其他的橢球參數仍能由這些基本參數計算而得。
克萊羅定理
法國數學家克萊羅在其發(fā)表于1743年的著作中給出了地球的幾何扁率 \( f \) 與重力扁率 \( f^* \) 之間的對應關系，即克萊羅定理。在顧及至扁率的平方項的情況下，該定理可表述為：
\[ f+f^* = \frac{5}{2}\frac{\omega^2b}{\gamma_e}(1+\frac{9}{35}e'^2) \]
重力扁率 \( f^* \) 的定義與幾何扁率類似，其由橢球赤道處的重力 \( \gamma_e \) 和橢球極點處的重力 \( \gamma_p \) 決定：
\[ f^* = \frac{\伽馬發(fā)動機_p - \gamma_e}{\gamma_e} \]
\[ \gamma_e = \frac{GM}{a^2}(1+m+\frac{3}{7}e'^2m) \]
\[ \gamma_p = \frac{GM}{ab}(1-\frac{3}{2}m-\frac{3}{14}e'^2m) \]
其中 \( m = \frac{\omega^2a^2b}{GM} \)，且有 \( \frac{\omega^2b}{\gamma_e} = m+\frac{3}{2}m^2 \)。
正常重力公式
正常重力公式由索米里安在1929年給出，它提供了橢球赤道處的正常重力值和極點處的正常重力值，而橢球面上其他緯度的正常重力則可由此公式計算得到。公式的截斷形式為：
\[ \伽馬發(fā)動機 = \gamma_e(1+f_2\sin^2\varphi + f_4\sin^4\varphi) \]
其中的系數為：
\[ f_2 = -f+\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}f^2-\frac{26}{7}fm+\frac{15}{4}m^2 \]
\[ f_4 = -\frac{1}{2}f^2+\frac{5}{2}fm \]
這一公式也可寫為：
\[ \gamma = \gamma_e(1+f^*\sin^2\varphi - \frac{1}{4}f_4\sin^4 2\varphi) \]
其中的 \( f^* = f_2 + f_4 \) 為上述提到的重力扁率。正常重力公式還可以閉合形式表達：
\[ \gamma = \gamma_e\frac{1+k\sin^2\varphi}{\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}} \]
其中的系數 \( k \) 為：
\[ k = \frac{b\伽馬發(fā)動機_p - a\gamma_e}{a\gamma_e} \]
向上延拓公式
在橢球面外部不遠處，正常重力 \( \gamma_h \) 可以在其沿法線到橢球面上投影處展開為正常高 \( h \) 的級數。得到正常重力的向上延拓公式為：
\[ \gamma_h = \gamma \left[1-\frac{2}{a}\left(1+f+m-2f\sin^2\varphi\right)h+\frac{3}{a^2}h^2\right] \]
上式的數值形式近似為：
\[ \伽馬發(fā)動機_h = \gamma - 0.3086h + 0.72 \times 10^{-7}h^2 \]
對策
物理大地測量學中作為正常場源的正常橢球卻只定義了長半軸、扁率、赤道重力、角速度及總質量等幾何量和表面物理量，其內部密度沒有確切的分布，這是物理大地測量本身的理論體系所決定的。因此，要使得物理大地測量與地球物理學的相互交叉，聯(lián)合探求地球內部結構并解決密度反演中應用重力異常時所隱含的不確定性，首先就必須研究正常重力場源的同源性問題。
正常重力場的同源性問題歸結起來應該是，物理大地測量與地球物理分別（結果應具有可比性）或聯(lián)合用于反演內部密度結構的重力異常，其所對應的正常重力應產生于同一具有確切物理意義的正常場源（或理論模型）；而由外部重力場通過不同方法得到的內部密度異常所對應的正常密度應是同一的。
理論上，研究重力場的同源性問題有兩種途徑可循：大地重力學擾動邊值（如重力異常、重力擾動，擾動位等）不變，構制相應的正常場源。這須克服許多數學和物理上的困難。直接選用或改進已有的地球物理學模型代替參考橢球，而將傳統(tǒng)的大地重力學擾動邊值加以改造。這將涉及到整個傳統(tǒng)的反演體系的調整。
將物理大地測量學的正常場源與地球物理地球模型統(tǒng)一起來，是物理大地測量研究向地球內部拓展所面臨的主要問題之一，也是物理大地測量與地球物理學科交叉并對地球內部密度進行綜合解釋的真正基礎。由于這一問題涉及到學科界線及其傳統(tǒng)理論框架的突破，以及數學求解與物理解釋上的諸多困難，真正融合兩學科的物理實際所建立的有效模型尚未發(fā)現。本文所作研究即是對這一問題的初步探索，與許多為正常橢球賦值問題的不同之處，在于應用了地球物理學中PREM模型的密度分布，使得聯(lián)合反演尤其是物理大地測量學反演得到的地球內部密度解釋有了較為明確的物理意義。事實上，類似的做法，人們還可能選擇其他的約束（如來自于地震的波速場、自由振蕩頻率等），來建立更有效的地球內部場源的統(tǒng)一模型。
參考資料 >