卡塔蘭猜想，也稱為米哈伊列斯庫定理，是組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列。以比利時的數學家歐仁·卡塔蘭（1814–1894）的名字命名。歷史上，清代數學家明安圖(1692年－1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔蘭數”，遠遠早于卡塔蘭。有中國學者建議將此數命名為“明安圖數”或“明安圖-卡塔蘭數”?？ㄋm猜想在2002年4月由帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家普雷達·米哈伊列斯庫證明，因此也稱為米哈伊列斯庫定理，證明大幅使用了分圓域和伽羅華模。
介紹
卡塔蘭猜想是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭在1844年提出的一個數論的猜想。它是說除了8=2^3，9=3^2，沒有兩個連續整數都是正整數的冪；以數學方式表述為：不定方程x^a-y^b=1的大于1的正整數x,y,a,b只有唯一解x=3,y=2,a=2,b=3。也可以叫“8--9”猜想。與卡塔蘭猜想相似的有費馬大定理。
歷史背景
在卡塔蘭之前已有人考慮過類似的問題。1320年左右，萊維·本·熱爾松（Levi ben Gerson，1288年—1344年）證明2和3的冪之間只有8和9相差是1。萊昂哈德·歐拉證明，x^2 - y^3 = 1只有一解：x = 3,y = 2。亨利·勒貝格證明了方程x^a - y^2 = 1，a > 1 沒有正整數解。1965年柯召證明方程x^2 - y^b = 1，b > 1 只有一個解。于是卡塔蘭猜想只余下a,b為奇素數的情況。1976年羅貝特·泰德曼(Robert Tijdeman)證明卡塔蘭猜想的方程只有有限個解。雷·斯坦納(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奧特(Maurice Mignotte)也對這猜想作出貢獻。皮萊猜想（Pillai's conjecture）：把卡塔蘭猜想一般化，推測正整數的冪之間的差趨向無限大；換句話說，對任何正整數，僅有限多對正整數的冪的差是這個數。這猜想現在仍未解決。若abc猜想成立，則皮萊猜想也成立。
解決與影響
21世紀初，羅馬尼亞數學家米哈伊列斯庫（P.Mihaileseu）完整地給出了卡塔蘭猜想的證明，即證實了不定方程x^a+y^b=1（a、b是大于1的整數）只有一組正整數解：x=3,a=2,y=2,b=3，即3^2-2^3=1。對卡塔蘭猜想的證明，不僅促進了不定方程的發展，還改進了研究數學的方法。
參考資料 >