幺正算符是一種特殊的算符。在函數分析中，幺正算符作為一個數學分支，是希爾伯特空間上保留內積的一個有界運算符。 幺正算符通常被視為在希爾伯特空間上運行，但同樣的概念用于定義希爾伯特空間之間的同構概念。
單一元素是幺正算符的概括。 在代數中，如果U*U=UU* =I，則代數元素U稱為單位元素（unitary element），其中I是個體算符。
簡介
幺正算符是一種特殊的算符。在函數分析中，幺正算符作為一個數學分支，是希爾伯特空間上保留內積的一個有界運算符。幺正算符通常被視為在希爾伯特空間上運行，但同樣的概念用于定義希爾伯特空間之間的同構概念。
單一元素是幺正算符的概括。在代數中，如果，則代數元素U稱為單位元素（unitary element），其中I是個體算符。
定義
定義1
幺正算符是希爾伯特空間H上的有界線性運算符，滿足，其中U*是U的伴隨矩陣，是個體算符。
較弱的條件定義了一個等距。另一個條件，，定義了一個對偶。因此，幺正算符是一個有界線性運算符，它既是等距法也是同位素法，或者也可以看成是一種等值法。
一個等同的定義如下：
定義2
幺正算符是希爾伯特空間H上的有界線性運算符，其中：
（1）U是滿射的；
（2）U保留希爾伯特空間的內積H。換句話說，對于H中的所有向量x和y，我們有：
如果在此定義中允許域和范圍不同，則會捕獲希爾伯特空間類別中同構的概念。等比例保留奧古斯丁-路易·柯西序列，因此保留了希爾伯特空間的完整性。
以下，似乎較弱的定義也是等同的：
定義3
幺正算符是希爾伯特空間H上的有界線性運算符，其中：
（1）U在H中是密集的；
（2）U保留希爾伯特空間的內積，H。
定義1和3是等價的，注意U保留內積意味著U是等距（因此，有界線性運算符）。U具有密集范圍的事實確保它具有有界的逆U 。很明顯，。
因此，幺正算符只是希爾伯特空間的自相似性，即它們保留了它們作用的空間的結構（在這種情況下，線性空間結構，內積，因此拓撲）。有時由Hilb（H）或U（H）表示，給定戴維·希爾伯特空間H的所有單位運算符組本身被稱為H的希爾伯特組。
舉例
（1）個體函數是一個幺正算符。
（2）R 中的旋轉是幺正算符的最簡單的凡示例。旋轉不改變矢量的長度或兩個矢量之間的角度。這個例子可以擴展到R 。
（3）在復數的向量空間C上乘以絕對值數1，即的形式e 的數量是一個整數運算符。 θ被稱為相位，并且該乘法被稱為乘以相位。注意，θ模的值不影響乘法的結果，因此C上的獨立的單一運算符被一個圓參數化。相應的組，作為一組，是圓，稱為U（1）。
（4）更一般來說，單一矩陣正是在有限維希爾伯特空間上的統一運算符，因此幺正算符的概念是對單一矩陣概念的概括。正交矩陣是所有條目都是真實的酉矩陣的特殊情況。
（5）由整數索引的序列空間l 的雙向移位是一體的。一般來說，戴維·希爾伯特（Hilbert）空間中的任何操作者都是以正交為基礎進行洗牌而行事的。在有限維度情況下，這些運算符是置換矩陣。
（6）單向移位（右移）是一個等值線；它的共軛（左移）是一個對偶。
（7）傅立葉運算符是一個整數運算符，即執行傅里葉變換（適當歸一化）的運算符。
線性
可以在不改變含義的情況下刪除幺正算符的定義中的線性要求，因為它可以從標量積的線性和正定性得出：
也可以得到，
參考資料 >