徑向基函數（英語：Radial basis 函數，縮寫為RBF）是一個數學概念，其定義為假設x、x0∈RN，以x0為中心，x到x0的徑向距離為半徑所形成的‖x-x0‖構成的函數系滿足k(x)＝O。‖x-x0‖稱為徑向基函數。徑向基函數的取值僅依賴于到原點或某一中心點c的距離，通常使用歐幾里得距離，但也可以使用其他距離函數。在機器學習中，徑向基函數還被用作支持向量機的核函數。
內容簡介
徑向基函數（Radial basis function, RBF）的概念最早可能是由Krige在1951年提出的，他把礦藏的沉積看成是一個各向同性的穩定的隨機函數的實現，從而導出了廣泛應用于礦藏分析的Kriging方法。在這方面的進一步深入的理論工作主要是由Mathron完成的。1971年Hardy使用徑向基函數Multi-Quadric來處理飛機外形設計曲面擬合問題，取得了非常好的效果。1975年Duchon從樣條彎曲能最小的理論出發導出了多元問題的薄板樣條。這些方法事實上都是徑向基函數的插值方法，他們所用的徑向基函數有：
1) Kriging方法的正態分布函數
2) Hardy的Multi-Quadric函數
3) Duchon的薄板樣條
徑向基函數可以用于許多向函基數的和來逼近某一給定的函數，這一逼近的過程可看作是一個簡單的神經網絡。
類型
常見的徑向基函數包括以下幾種，其中r表示到中心點xi的距離{\displaystyle r=\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\|}：
- 高斯函數（Gaussian）：
{\displaystyle \phi (r)=e^{-(\varepsilon r)^{2}}}
- 多二次函數（Multiquadric）：
{\displaystyle \phi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}
- 逆二次函數（Inverse Quadratic）：
{\displaystyle \phi (r)={\frac {1}{1+(\varepsilon r)^{2}}}}
- 逆多二次函數（Inverse Multiquadric）：
{\displaystyle \phi (r)={\frac {1}{\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}}
- 多重調和樣條（Polyharmonic Spline）：
{\displaystyle \phi (r)=r^{k},\;k=1,3,5,\dots }
{\displaystyle \phi (r)=r^{k}\ln(r),\;k=2,4,6,\dots }
- 薄板樣條（Thin Plate Spline，為多重調和樣條的特例）：
{\displaystyle \phi (r)=r^{2}\ln(r)}
以上類型的徑向基函數在不同的應用領域中有著廣泛的使用，例如在插值、分類、回歸以及神經網絡的隱藏層中。通過選擇合適的徑向基函數和參數，可以有效地逼近復雜的多維函數。
函數應用
徑向基函數插值可以直接并且已經大量地應用于地質鉆探、外形設計等作為散亂數據插值或者逼近的領域外，徑向基函數空間還在下述幾個方面有很好的應用，并且在這些領域成為非常有效的函數空間：
1、偏微分方程的數值解
在微分方程數值解的研究領域還研究了如下的方法：假設函數可以由徑向基函數近似表示，把它代入微分方程并且在某個數據點集上在某種度量下迫使微分方程的誤差取最小值，從而決定系數aj，甚至點xj，這個方法在一些實際應用領域也獲得了非常滿意的結果。
2、神經網絡的構造
構造神經網絡的基本方法為假設某種過程是屬于某種函數空間的函數，然后連接成神經網格，運行一段時間該網絡的電勢趨于最小達到某種動態的平衡，從而可以求出該函數，而選擇徑向基函數空間是一個比較簡單的容易用神經網絡實現的方法。
參考資料 >