初等矩陣（英文：Elementary matrix）是單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣，屬于矩陣的一種，是代數學的概念之一，是數學研究和應用的工具。初等矩陣都可逆，其逆矩陣是一個同類型的初等矩陣（可看作逆變換）。
中國古籍《九章算術》中有類似初等矩陣概念。在歐洲，約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（F.Gauss）提出相關概念，其高斯消元法，即現在的矩陣初等變換。矩陣一詞由英國數學家西爾維斯特（Sylvester）在1850年首先提出。之后英國數學家凱萊（Cayley,A）擺脫線性變換和行列式，將矩陣作為獨立的研究對象。之后，矩陣理論體系不斷發展壯大，在多個領域都有所應用。
初等矩陣的轉置仍是初等矩陣，具有三種初等變換：（1）交換矩陣中某兩行（列）的位置；（2）用一個非零常數k乘以矩陣的某一行（列）；（3）將矩陣的某一行（列）乘以常數k后加到另一行（列）上去。初等矩陣在生活中有著廣泛的應用，適用于數學、計算機科學、密碼學等領域。
歷史
中國古籍《九章算術》中有類似概念，用算籌列出“方程，令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行。”然后遍乘直除（今稱矩陣初等變換）。在歐洲，是由約翰·卡爾·弗里德里希·高斯提出相關概念，把一個線性變換的全部系數作為一個整體，其實質就是矩陣；高斯消元法，即現在的矩陣初等變換。矩陣一詞由英國數學家西爾維斯特（Sylvester）在1850年首先提出。此后英國數學家凱萊（Cayley,A）擺脫線性變換和行列式，將矩陣作為獨立的研究對象，并引進矩陣的基本概念和運算，諸如矩陣相等、零矩陣、單位矩陣、矩陣的和、矩陣的乘積、矩陣的逆、轉置矩陣，對稱陣等；并借助行列式定義了方陣的特征方程和特征根。
1878年，數學家弗羅伯紐斯（Frobeniws）給出正交矩陣的定義和矩陣秩的概念。此后，矩陣理論體系不斷發展壯大，在多個領域都有所應用。
定義
初等矩陣指的是三種形狀簡單且經常使用的方陣統稱，由單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣稱之為初等矩陣。
行乘轉換
以中的一個非零的數乘矩陣的某一行。
其中
逆矩陣為：
是第一種初等矩陣為將矩陣的第3行的元素乘以2后得到的矩陣，
例如
為將矩陣的第3列元素乘以2后得到的矩陣，
例如
行加轉換
將矩陣的某一行（列）的倍加到另一行（列），這里為中的任意一個數。
其中
逆矩陣為：
是第2種初等矩陣為將矩陣的第3行元素乘以加到第2行對應的元素上得到的矩陣，例如
為將矩陣的第2列元素乘以加到第三列對應的元素上得到的矩陣，
例如
行互換
互換矩陣中兩行（列）的位置，其中，變換1，2
初等矩陣都可逆，且其逆矩陣仍為初等矩陣，即
初等變換和初等矩陣的關系式：用第種初等矩陣左（右）乘矩陣，相當于對的相應行（列）施行第種初等變化；反之亦然。
是第三種初等矩陣則為交換矩陣的第1行和第2行得到的矩陣，例如
為交換矩陣的第1列和第2行得到的矩陣，
例如
性質
性質1
初等矩陣的轉置仍是初等矩陣。
性質2
用初等矩陣左（右）乘，所得就是對矩陣作了一次與同樣的行（列）初等變換。對矩陣做初等行變換，其作用是在矩陣的左邊乘上一個初等矩陣對矩陣做初等列變換，其作用是在矩陣的右邊乘上一個相應的初等方陣。
性質3
初等矩陣均可逆，且其逆是同類型的初等矩陣，例如
即，
性質4
當是可逆矩陣時，則可作一系列初等行變換化成單位陣，即存在初等矩陣使得
幾何意義
一個幾何圖形乘以一個矩陣，就會對這個圖形進行一個線性變換或矩陣變換。一組向量的線性相關性必然會體現在這組向量的數組之間的關系上，因此我們定能通過向量之間的線性運算把這個關系揭示出來。
二階初等矩陣
這里被變換的圖形是一個位于第一象限內的三角形或正方形，它們由單位矩陣生成，變換后的像位于其他象限內。
三階初等矩陣
基本初等矩陣（1）所表示的幾何變換：可以從線性變換矩陣的逆定理推得。首先是三階單位矩陣 行向量張成的圖形，就是第一象限的立方體，在互換的換行矩陣作用下，立方體仍然在第一象限，只是圖形以平面為對稱面進行了鏡像變換。
2.
基本初等矩陣（2）的變換是：對圖形實施的在某一坐標軸方向的伸縮變幻。
設是平面上的任意一點，點經基本初等矩陣和分別實施變換后，所得結果為和。是把在軸方向的坐標伸縮倍而在軸方向的坐標不變而便得到的，是把點在軸方向的坐標伸縮倍而在軸方向的坐標不變而得到的。
3.
基本初等矩陣（3）的幾何變換是：對圖形實施的在某一坐標軸方向的切變變換，其幾何意義需要結合物理中的切變說明。
相關概念
單位矩陣
階數量矩陣，對角線上元素，則將其稱為階單位矩陣，記作，即
對任意矩陣，顯然有，可見，矩陣中的，相當于數中的。
非奇異矩陣
非奇異矩陣，又稱非退化矩陣、滿秩矩陣，一種重要而應用廣泛的特殊矩陣。數域上行列式的階矩陣稱為非奇異矩陣；如果則成為奇異矩陣或退化矩陣、降秩矩陣，矩陣是非奇異的，當且僅當是可逆的或可表為若干個初等矩陣的乘積。
分塊矩陣
分塊矩陣是一種特殊矩陣，把矩陣用縱線與橫線分成若干塊，每個小塊稱為此矩陣的子塊或子矩陣，分成子塊的矩陣，稱為分塊矩陣。
設分塊矩陣：
其中是矩陣 的子塊，則其轉置矩陣為
相關定理
矩陣的等價
定義：也稱矩陣的相抵，矩陣間的一種等價關系。
矩陣等價的充分必要條件：存在一系列初等矩陣 使得即存在階和階可逆矩陣與使得矩陣的等價具有自反性、對稱性和傳遞性，即是一種等價關系。
逆矩陣
設為階方陣，如果存在階方陣，使得則稱是可逆矩陣，且為的逆矩陣，記作，即矩陣A可逆的充要條件是它能表示成有限個初等矩陣的乘積。
左行右列
對矩陣做初等行變換，其作用是在矩陣的左邊乘上一個初等矩陣對矩陣做初等列變換，其作用是在矩陣的右邊乘上一個相應的初等方陣。
初等矩陣的定理
1.對矩陣左乘一個初等矩陣，相當于對作相應的行變換；對矩陣右乘一個初等矩陣，相當于對作相應的列變換。
2.所有的初等矩陣都是可逆的，并且它們的逆矩陣均為同類型的初等矩陣。
3.矩陣可逆的充要條件是它能表示成有限個初等矩陣的乘積，即其中均為初等矩陣。
應用
數學領域
線性方程組是線性代數的主要內容，其求解過程是：第一判斷其是否有解，第二，有解的話，有多少個解。可采用行列式解和矩陣兩種方式求解，矩陣的初等變換同矩陣的乘法之間有密切的關系，而這種關系可以通過初等矩陣來反映。
計算機科學
初等矩陣法計算線規劃問題，要涉及到階數為變量數的方陣之間的乘積；以及這類方陣左乘或右乘向量的計算，因而難以求解大型線性規劃問題。實際上只要巧妙安排程序，可以節省很多計算。其內存需求量僅和約束系數矩陣的元素量相當。
密碼學
密碼學識信息編碼與解碼的技巧，其中有一種是基于逆矩陣的方法。首先在英文和數字之間建立聯系，然后通過矩陣變換后發出，接受者可以通過解碼，即逆矩陣恢復明碼，得到相應的信息。
參考資料 >