在代數(shù)拓?fù)?/a>中，毛球定理證明了偶數(shù)維單位球上的連續(xù)而又處處不為零的切向量場是不存在的。
定理定義
具體來說，如果f是定義在一個單位球上的連續(xù)函數(shù)，并且對球上的每一點p，其函數(shù)值是一個與球面在該點相切的向量，那么總存在球上的一點，使得f在該點的值為零。直觀上（三維空間）可以想象為一個被“撫平”的“毛球”。這個定理最著名的陳述也正是“永遠(yuǎn)不可能撫平一個毛球”。這個定理首先在1912年被魯伊茲·布勞威爾證明。
實際上，根據(jù)龐加萊·霍普夫定理，三維空間中的向量場的零點處的指數(shù)和為2，即二維球面的歐拉示性數(shù)，因此零點必然存在。對于二維環(huán)面，其長城歐拉特征數(shù)為0，因此“長滿毛的甜甜圈”是有可能被“撫平”的。推廣來說，對于任意的正則的偶數(shù)維緊流形，若其歐拉示性數(shù)不為0，則其上的連續(xù)的切向量場必然存在零點。
定理的陳述
我們考慮常規(guī)的歐幾里得空間里的一個單位球：
其上的拓?fù)錇?a href="/hebeideji/7152490205819027495.html">歐幾里得范數(shù)誘導(dǎo)的拓?fù)洹＿@是一個n維的連通的緊子流形。直覺上，對一個單位向量，它在單位球上的對應(yīng)點可以用過并且與其正交的一個中的仿射超平面來逼近。
上的一個連續(xù)的向量場可以定義為連續(xù)映射：，使得與正交。
定理：如果n為大于等于2的偶數(shù)，那么所有Sn上的連續(xù)的向量場X必然有至少一個零點。
對于奇數(shù)維的情形，存在連續(xù)（甚至解析）的切向量場，且處處皆不為零。
應(yīng)用例子
毛球定理在氣象學(xué)上的一個有趣應(yīng)用是對于氣旋的研究。如果我們把大氣的運動：風(fēng)看為地球表面的一個向量，那么這個向量場連續(xù)，因為覆蓋地球表面的大氣層可以看作是連續(xù)分布的。作為理想化的模型，我們可以忽略空氣的垂直運動，因為其相對于地球的半徑是很小的，或者說我們只研究其水平分量（也是連續(xù)的）。
這樣看來，一個完全沒有風(fēng)的點（空氣靜止）對應(yīng)著向量場的一個零點。事實上，就物理上來說，空氣是不可能在某一個區(qū)域處處絕對靜止的，因為空氣總在運動。但毛球定理說明零點存在，因此必然有空氣靜止的點，并且是孤立點。
一個物理學(xué)上的解釋是這些零點對應(yīng)著氣旋或反氣旋的中心（風(fēng)眼）。在這樣的零點附近，風(fēng)的分布成螺旋形，但永遠(yuǎn)不會從水平吹入中心或從其中吹出（只能上升或下降）。由毛球定理可以得出，地球表面永遠(yuǎn)存在氣旋和風(fēng)眼，在風(fēng)眼處風(fēng)平浪靜，但四周都有風(fēng)環(huán)繞。
參考資料 >