加權余量法（Weighted Residual Method, WRM），又稱加權殘量法，加權殘余法，在應用數學中是一種求解微分方程近似解的方法。該方法假設微分方程的解可以通過近似函數的有限和來很好地近似，并通過選擇合適的測試函數和相應的系數值，使得這些測試函數的線性組合與實際解之間的誤差在所選范數中最小化。
概述
加權余量法在固體力學中，是求解線性、非線性微分方程的一種有效方法，它是基于等效積分形式的近似方法之一，也是通用的數值計算方法。有限元法、邊界元法、無網格法都是加權余量法的特殊情況。由于這三種方法各有其特點，所以都各自發展為一種獨立的方法。加權余量法最早是用于流體力學、傳熱等科學領域，后在固體力學中得到了更大的發展。
原理
先假設一個稱為試函數的近似函數，把它代入要求解的微分方程和邊界條件或初值條件；這樣的函數一般不能完全滿足這些條件，因而出現誤差，即出現殘數或殘值；選擇一定的權函數與殘數相乘，列出在解的域內消滅殘數的方程式，就可以把求解微分方程的問題轉化為數值計算問題，從而得出近似解。
Fu-f=0 (V域)， （1）。
Gu-f=0 (S邊界)， （2）。
式中u為待求函數，F和G為算符；f和g為不含u的項。設試函數為：
式中Ci為待定參數或函數。式(3)一般不能滿足式(1)和式(2)，從而出現內部殘數Ri和邊界函數Rb，即：
為消滅殘數，分別以內部權函數W1和邊界權函數Wb乘式(4)和(5)，列出消除殘數的方程：
它們將轉變為代數方程式，從這些方程式求出Ci，就獲得滿足式(1)和式(2)的近似解(3)。
若解(3)中所選擇的試函數項Ni，事先已能滿足式(2)，則只需用式(6)消除殘數，這種方法稱為內部法。若Ni已滿足式(1)，則只需用式(7)消滅殘數，這種方法稱為邊界法。若Ni既不滿足式(1)，又不滿足式(2)，則須用式(6)和式(7)，這種方法稱為混合法。
作為一種數值計算方法，加權殘數法具有下述優點：①原理的統一性：尋求控制導數方程式的近似解，不分問題的類型和性質；②應用的廣泛性：數學、固體力學、流體力學、熱傳導、核物理和化工等多學科的問題都能應用；既可解邊值問題、特征值問題和初值問題，也可解非線性問題；③不依賴于變分原理：在泛函不存在時也能解題；④計算誤差可知；⑤方法一般比較簡單、快速、準確，工作量少，程序簡單。
權函數的選擇
加權余量法是求解微分方程近似解的一種有效方法。任何獨立的完全函數都可用來作為權函數。加權余量法可分為內部法、邊界法和混合法，在內部法中，又可分為配點法（以笛拉克函數δ作為權函數）、子域法、最小二乘法、力矩法、伽遼金法等。
參考資料 >