不等邊三角形（scalene triangle），又稱不規(guī)則三角形，是指三條邊的長度都不同的三角形。這種三角形的三個(gè)內(nèi)角也各不相同，反之亦然。不等邊三角形可以是直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，是對(duì)稱性最低的三角形類型，不具備點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)和線對(duì)稱軸。
簡介
三條邊都不相等的三角形叫不等邊三角形。它的內(nèi)角總是各不相同，這一特性使得大多數(shù)隨機(jī)繪畫的三角形都是不等邊的。
性質(zhì)
不等邊三角形的內(nèi)心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)。不等邊三角形的性質(zhì)大多與其他三角形相同，例如面積公式等，但它是所有三角形分類中對(duì)稱性最低的。為了證明上述性質(zhì)，先說明幾個(gè)引理。
引理1：△ABC中AD、BE、CF為三邊上的高，垂心為H，則該三角形三邊之中點(diǎn)，三個(gè)垂足D、E、F，三線段HA、HB、HC之中點(diǎn)九點(diǎn)共圓，且線段HA、BC之中點(diǎn)連線線段的中點(diǎn)是九點(diǎn)圓圓心。
引理2：設(shè)外心為O、垂心為H、則線段OH之中點(diǎn)是九點(diǎn)圓圓心。
引理3：的內(nèi)心是其旁心三角形的垂心。
引理4：設(shè)不等邊的外心為O、垂心為H、內(nèi)心為I、界心為K。則OI平行且等于二分之一的KH。
性質(zhì)證明：
設(shè)不等邊△ ABC的旁心三角形為△ DEF(如圖1，O、I、H、K分別為△ ABC外心、內(nèi)心、垂心、界心。由引理4，OI平行且等于二分之一的KH；由引理3及其證明過程知，△ ABC內(nèi)心I為旁心△ DEF的垂心，且直線DIB⊥EF，直線EIA⊥ DF，直線FIC⊥ DE。又由引理1知，△ ABC九點(diǎn)圓圓心為外心O；設(shè)△ DEF外心為M，由引理2，有△ DEF外心M與垂心I的連線線段中點(diǎn)應(yīng)為△ DEF九點(diǎn)圓圓心O，故M、O、I三點(diǎn)共線且MO = OI。由OI平行且等于二分之一的 KH，有MI平行且等于KH，即四邊形MIHK為平行四邊形。故△ ABC的內(nèi)心I、垂心H、界心K及旁心三角形的外心M構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)。命題得證。
與其他三角形的關(guān)聯(lián)
不等邊三角形與等腰三角形和等邊三角形的關(guān)聯(lián)為互斥集。如果一個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角角度相同，它將是等腰三角形，如果所有內(nèi)角角度相同，則為等邊三角形。不等邊三角形的條件是三邊不等長當(dāng)且僅當(dāng)三個(gè)角不相等，這意味著它的角可以是鈍角、直角或銳角。部分教科書會(huì)將直角三角形獨(dú)立成一類，不將其歸類為不等邊三角形。
參考資料 >