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牛頓恒等式（英語：Newton's 恒等式）描述了冪和對稱多項式和初等對稱多項式此兩種對稱多項式之間的關系。艾薩克·牛頓在不知道阿爾伯特?吉拉德先前的成果下，于約1666年發現這些恒等式。這些恒等式目前已被應用在許多數學領域，如伽羅瓦理論、不變量理論、群論、組合學，也被進一步應用于數學之外，如廣義相對論。
基本介紹
對于n次多項式.,有著名的牛頓恒等式。他是n次方程的n個根的同次冪的和與F(X)的函數之間關系的明確表述。
定義
牛頓恒等式敘述如下：
設的n個根.對于,記。則有
，當
，當。
證明過程
對于一元二次方程，即：。
此時，牛頓恒等式為：
牛頓恒等式，設為方程兩根，對于,記,則有
下面是2，3式的證明：
2）的證明：
由于為方程二根，易得。
當時，分別以和乘上這兩個式子，得
相加（4）式，即可得（2）。
（3）的證明：
由韋達定理：,所以,即（3）一式成立，又因為,所以,即，即（3）二式成立。
對于其他情況，可以類比（2）（3）式加以證明。
應用
證明韋達定理
由（3）式證明即可以看出：通過韋達定理既然可以推出（3）式，那么牛頓恒等式（3）式與韋達定理是等價的。通過逆推就可以證明韋達定理的正確性。
其他有用推論
1，通過方程1系數a，b，c，即可逐個確定
2，如，則
3，通過牛頓恒等式，也可以由a，b，c的奇偶性推知的奇偶性。
參考資料 >