阿基米德公理（Archimedean axiom）又稱阿基米德性質、歐多克索斯公理、度量公理，是經典幾何中的重要命題，實數系的基本性質之一。
早在歐多克索（或譯作多克索，歐多克索斯，約前4世紀上、中葉）的時代，阿基米德公理的相關知識已經存在。公元前3世紀，阿基米德在《論球與圓柱》一書中正式提出該公理的幾何描述，“不等的線，不等的面，不等的體中，大的超過小的，以這樣一種量，如當此量重復相加時，就能超過任何給定的量，只要這些量能和它比較。”后來，數學家們給出了公理在實數系中的定義，一般地，對于任意給定的兩個正實數a、b，必存在自然數n，使得na >b。阿基米德公理的重要性在19世紀充分體現出來。
實數系的阿基米德性質可以通過多種方法來證明。與公理類似的理論有實數系的完備性與稠密性定理，在有序域中，這些性質密切相關。在古代東方文化里，《墨經》中的“容尺”與阿基米德性質在思想上類似，但解決問題的側重點卻不同，阿基米德對于無窮概念避而不談，體現出古希臘數學的發展具有時代和歷史的局限性。
定義
幾何定義
如圖設和是任意兩條線段，在射線上依序存在有限個點 ，使線段都合同于，并且使點在點和點之間。
在長短不同的兩條線段中，無論較長的線段怎樣長，較短的線段怎樣短，總可以在較長的線段上連續截取較短的線段，并且截到某一次以后，必出現下面兩種情況：
(1）沒有剩余；
(2）得到一條短于較短線段的剩余線段。
實數系定義
如果，而是任意一個實數，則存在一個正整數，使得。
該定義具有下述等價形式：
歷史
提出
早在歐多克索（或譯作攸多克索，歐多克索斯，約前4世紀上、中葉）的時代，阿基米德公理的相關知識已經存在。公元前3世紀，阿基米德公理在古希臘數學家阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年）的杰作《論球與圓柱》中被正式提出，它作為《論球與圓柱》卷一中提出的第5條公理，其原文與如今現代化的表述有些差異，原文的表述為“不等的線，不等的面，不等的體中，大的超過小的，以這樣一種量，如當此量重復相加時，就能超過任何給定的量，只要這些量能和它比較”。阿基米德給出了公理的幾何表述，即兩給定線段中較短線段延長足夠多倍，必可超過較長線段。在該書中，他從定義和公理出發，推出了球和圓柱面積、體積等50多個命題；用幾何方法解決了相當于三次方程x2(a-x)=b2c求解的問題，對后來的數學發展產生了重要影響。
發展
到了近代，阿基米德公理的重要性引發了一些爭議和討論。德國數學家戴維·希爾伯特（Hilbert,D.）在他的數學名著《幾何基礎》中，將阿基米德公理列為他的幾何公理系統中的連續公理之一。一般地，阿基米德公理適用于很多的量：對于任意給定的兩個正實數a、b，必存在自然數n，使得na >b。它是算術和幾何中的輾轉相除法或輾轉相截法的依據。阿基米德公理的重要性，是在19世紀發現了不適用這個公理的量，即所謂非阿基米德量之后，才充分顯示出來。1960年，美籍德國數理邏輯學家魯賓孫(Robinson,A.）提出的非標準實數域R，則是一種非阿基米德實數域。在R上可建立起微積分等各種現代數學學科，稱為非標準分析、非標準數學，可見古老的阿基米德公理的深刻性。
證明
阿基米德環形山性質：對，若，則，使得。
證法一
設，其中 ，則。設，其中為第一個不為零的正整數。令，。
證法二
該公理還可以用反證法進行證明。假設結論不成立，即，則有上界，因此有上確界，且滿足，也就有，或。這表明是集合的上界，與是其上確界矛盾，所以總存在，使。
類似理論
康托爾公理
在直線上給定了線段的無窮序列，其中每個后面的線段都在前一個線段的內部（可以有一端點重合）；而且不存在這樣的線段，它在所有這些線段的內部，那么在直線上必存在而且只存在一個點屬于所有線段 (為正整數）。
康托爾公理與阿基米德公理一起奠定了線段度量的理論基礎。在建立歐氏幾何的公理系統時，常用它替代直線完備公理而與阿基米德公理組成連續公理組。康托爾公理在實數理論中也有著特殊的作用。
實數的完備性基本定理
實數系的完備性（completeness of 巴西雷亞爾 number system) 指實數系對極限運算封閉，也指對實數使用由有理數構造實數的方法不能再得到新的數。與實數系的連續性一樣，它是區分有理數系與實數系的關鍵性質。的完備性可以由奧古斯丁-路易·柯西準則（中的基本列必收斂于某一實數）刻畫，也可以用區間套定理反映。在實數系的公理系統中，這兩個定理用作完備性公理，與阿基米德公理合在一起刻畫了實數的連續性。
確界原理
設為非空數集，若有上界，則必有上確界；若有下界，則必有下確界。
區間套定理
若是一個區間套，則在實數系中存在唯一的一點，使得 ，即 。
柯西收斂準則
數列收斂的充要條件是：對任給的，存在正整數，使得當時，有。
實數系的稠密性
指任意兩個不等的實數間有無窮個實數。即：若，則存在實數，使。也可以限定是有理數（或無理數），這樣，在兩個不等的實數間有無窮多個有理數與無窮多個無理數。
相關定理
定理1
一個有序域如果具有完備性，則必具有阿基米德性。
證明 ：用反證法。設為域中正元素，倘若序列中沒有一項大于，則序列有上界（就是一個）。因而由完備性假設，存在的上確界，對一切自然數有，同時存在某個自然數，使。從而有 或，這與假設矛盾。所以完備的有序域必具有阿基米德性。
定理2
一個有序域，如果具有阿基米德性，則它的有理元素必在該域中稠密。即對有序域中任意兩個不同的元素，在與之間必存在一個有理元素（從而存在無窮多個有理元素）。
證明：設為有序域中兩個不同的元素，且。由阿基米德性，存在正整數，使得或。令，它是一個有理數，再任取一個有理數，在等差序列中，由阿基米德性總有某項大于，設在該序列中第一個大于的項為，則該數就是所求的有理數，即 。因為由的選擇有，倘若，則這兩個不等式相減將有，這與的定義矛盾，從而得證。
相關文化
《墨經》中的“容尺”與阿基米德公理
中國古代的《墨經》中就有涉及有限與無限的概念。如《墨經》的《經上》篇中有：“窮，或有前，不容尺也”； 《經說上》篇中有：“窮，或不容尺，有窮；莫不容尺，無窮也”。注家對其釋義眾說紛紜，其中一種看法是：釋“窮”為盡，“或”為域，“尺”為長度或者尺度。
如果采用符號，則可以轉化為下述的命題：
設為一射線或其上一段，＝一尺，那么，
（1）如果存在一個自然數，使得，則是有窮的；
（2）如果對于任意的自然數，都有，則是無窮的。
這個命題用一個度量單位來界定有窮與無窮，具有明顯的數學意義，它給出了無窮大的一個成功定義，著眼于在承認無窮大概念的前提下如何揭示無窮大的本質，其認識深度達到了中國古代的高峰。《墨經》中的“容尺”與阿基米德公理相似，但也存在本質的區別。阿基米德公理避開了無窮概念，而把注意的焦點放在兩個同類有限量之間的關系上，這留有古希臘由于對無窮的問題發生了困惑而極力避免使用無窮這個概念的古典傳統的烙印。它是阿基米德用窮竭法證明幾何問題的基礎，盡管阿基米德后來在《方法論》（The Method）中使用不可分量來尋求解決問題的辦法，但仍要用窮竭法來證明他的結論。
參考資料 >