做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一 步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法。那么完成這件事共有 N=m1×m2×m3×…×mn 種不同的方法。
和加法原理是數(shù)學(xué)概率方面的基本原理。
統(tǒng)計(jì)學(xué)描述
若某個對象分為n個環(huán)節(jié)，第1個環(huán)節(jié)有m1個元素，第2個環(huán)節(jié)有m2個元素，……，第n個環(huán)節(jié)有mn個元素，則該對象有 N=m1×m2×m3×…×mn 種序列。
數(shù)學(xué)描述
例1、求取矩形的面積。
對于矩形，長、寬可以看做分別在二維空間的兩個維內(nèi)，且兩個維相互正交，如果缺少長、寬中任何一個，矩形面積就失去意義，則矩形面積與長、寬的關(guān)系為：面積=長x寬。
例2、求取矩形的周長。
對于矩形的周長，長、寬雖然在二維空間的兩個維內(nèi)，且兩個維相互正交，但是如果缺少長、寬中任何一個，周長仍然有意義（還是長度，只是不完整），則周長與長、寬的關(guān)系為：周長=長+寬+長+寬。
例3、現(xiàn)有4筐蘋果，每筐20千克，求總共蘋果（W）有多少千克？
例題
例如，從A城到B城中間必須經(jīng)過C城，從A城到C城共有3條路線（設(shè)為a，b，c），從C城到B城共有2條路線（設(shè)為m，t），那么，從A城到B城共有3×2=6條路線，它們是：
am，at，bm，bt，cm，ct．
下面我們通過一些例子來說明這兩個原理在計(jì)數(shù)中的應(yīng)用．
例1
利用數(shù)字1，2，3，4，5共可組成
⑴多少個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？
⑵多少個數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)？
⑶多少個數(shù)字不重復(fù)的偶數(shù)？
解：⑴百位數(shù)有5種選擇；十位數(shù)有4種選擇；個位數(shù)有3種選擇．所以共有
5×4×3=60
個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)．
⑵ 先選個位數(shù)，共有兩種選擇：2或4．在個位數(shù)選定后，十位數(shù)還有4種選擇；百位數(shù)有3種選擇．所以共有
2×4×3=24
個數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)．
⑶ 分為5種情況：
一位偶數(shù)，只有兩個：2和4．
二位偶數(shù)，共有8個：12，32，42，52，14，24，34，54．
三位偶數(shù)由上述⑵中求得為24個．
四位偶數(shù)共有2×（4×3×2)=48個．括號外面的2表示個位數(shù)有2種選擇（2或4）．
五位偶數(shù)共有2×（4×3×2×1)=48個．
由加法原理，偶數(shù)的個數(shù)共有
2+8+24+48+48=130．
例2
從1到300的自然數(shù)中，完全不含有數(shù)字3的有多少個？
解法1：將符合要求的自然數(shù)分為以下三類：
⑴一位數(shù)，有1，2，4，5，6，7，8，9共8個．
⑵二位數(shù)，在十位上出現(xiàn)的數(shù)字有1，2，4，5，6，7，8，9 8種情形，在個位上出現(xiàn)的數(shù)字除以上八個數(shù)字外還有0，共9種情形，故二位數(shù)有8×9=72個．
⑶三位數(shù)，在百位上出現(xiàn)的數(shù)字有1，2兩種情形，在十位、個位上出現(xiàn)的數(shù)字則有0，1，2，4，5，6，7，8，9九種情形，故三位數(shù)有
2×9×9=162個．
因此，從1到300的自然數(shù)中完全不含數(shù)字3的共有
8+72+162=242個．
解法2：將0到299的整數(shù)都看成三位數(shù)，其中數(shù)字3
不出現(xiàn)的，百位數(shù)字可以是0，1或2三種情況．十位數(shù)字與個位數(shù)字均有九種，因此除去0共有
3×9×9-1=242（個）．
例3
在小于10000的自然數(shù)中，含有數(shù)字1的數(shù)有多少個？
解：不妨將1至9999的自然數(shù)均看作四位數(shù)，凡位數(shù)不到四位的自然數(shù)在前面補(bǔ)0．使之成為四位數(shù)．
先求不含數(shù)字1的這樣的四位數(shù)共有幾個，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字所組成的四位數(shù)的個數(shù)．由于每一位都可有9種寫法，所以，根據(jù)乘法原理，由這九個數(shù)字組成的四位數(shù)個數(shù)為
9×9×9×9=6561，
所以比10000小的不含數(shù)字1的自然數(shù)的個數(shù)是6561，于是，小于10000且含有數(shù)字1的自然數(shù)共有9999-6561=3438個．
糾正一下：最后一步的答案應(yīng)是10000-6561=3439 ，因?yàn)樾∮?0000的自然數(shù)有10000個（包括0）而非9999個。
例4
求正整數(shù)1400的正因數(shù)的個數(shù)．
解：因?yàn)槿魏我粋€正整數(shù)的任何一個正因數(shù)（除1外）都是這個數(shù)的一些質(zhì)因數(shù)的積，因此，我們先把1400分解成質(zhì)因數(shù)的連乘積
1400=2×2×2×5×5×7
所以這個數(shù)的任何一個正因數(shù)都是由2，5，7中的n個相乘而得到（有的可重復(fù)）．于是取1400的一個正因數(shù)，這件事情是分如下三個步驟完成的：
⑴ 取2×2×2的正因數(shù)是1，2，2×2，2×2×2，共3+1種；『注：1表示取0個；2表示取1個2；2×2表示取2個2；2×2×2表示取3個2.下面同理』
⑵ 取5×5的正因數(shù)是1，5，5×5，共2+1種；
⑶ 取7的正因數(shù)是1，7，共1+1種．
所以1400的正因數(shù)個數(shù)為
（3+1）×（2+1）×（1+1)=24．
說明：利用本題的方法，可得如下結(jié)論：
若將正整數(shù)a分解成質(zhì)因數(shù)pi（i=1，2，…，r）的連乘積時，其中質(zhì)因數(shù)pi的個數(shù)是ai（i=1，2，…，r），則正整數(shù)a的不同的正因數(shù)的個數(shù)是
(a1+1)×(a2+1）×…×（ar+1）.
例5
求五位數(shù)中至少出現(xiàn)一個6，且能被3整除的數(shù)的個數(shù)．
解答如下：
⑴ 從左向右計(jì)，如果最后一個6出現(xiàn)在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數(shù)字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余數(shù)所決定．因此，為了保證a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3種可能，根據(jù)乘法原理，5位數(shù)中最后一位是6，而被3整除的數(shù)有
3×10×10×10=3000（個）．
⑵ 最后一個6出現(xiàn)在第四位，即a4=6，于是a5只有9種可能（因?yàn)閍5不能等于6），a2，a3各有10種可能，為了保證a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3種可能．根據(jù)乘法原理，屬于這一類的5位數(shù)有
3×10×10×9=2700（個）．
⑶ 最后一個6出現(xiàn)在第3位，即a3=6，被3整除的數(shù)應(yīng)有
3×10×9×9=2430（個）．
⑷ 最后一個6出現(xiàn)在第2位，即a2=6，被3整除的數(shù)應(yīng)有
3×9×9×9=2187（個）．
⑸ a1=6，被3整除的數(shù)應(yīng)有
3×9×9×9=2187（個）．
根據(jù)加法原理，5位數(shù)中至少出現(xiàn)一個6而被3整除的數(shù)應(yīng)有
3000+2700+2430+2187+2187=12504（個）．
例6
在6×6的棋盤上剪下一個由四個小方格組成的凸字形，有多少種不同的剪法？
解：我們把凸字形上面那個小方格稱為它的頭，每個凸字形有并且只有一個頭．
凸字形可以分為兩類：第一類凸字形的頭在棋盤的邊框，但是棋盤的四個角是不能充當(dāng)凸字形的頭的．于是，邊框上（不是角）的小方格共有4×4=16個，每一個都是一個凸字形的頭，所以，這類凸字形有16個．
第二類凸字形的頭在棋盤的內(nèi)部，棋盤內(nèi)部的每一個小方格可以作為4個凸字形的頭（即頭朝上，頭朝下，頭朝左，頭朝右），所以，這類凸字形有
4×（4×4)=64（個）．
由加法原理知，有16+64=80種不同的凸字形剪法．
練習(xí)
1．把數(shù)、理、化、語、英5本參考書，排成一行放在書架上．
⑴化學(xué)不放在第1位，共有多少種不同排法？
⑵語文與數(shù)學(xué)必須相鄰，共有多少種不同排法？
⑶物理與化學(xué)不得相鄰，共有多少種不同排法？
⑷文科書與理科書交叉排放，共有多少種不同排法？
2．在一個圓周上有10個點(diǎn)，把它們兩兩相連，問共有多少條不同的線段？
3．用1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)，
⑴可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的五位奇數(shù)？
⑵可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的五位奇數(shù)，但1不在百位上？
4．從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中任取三個數(shù)組成一個三位數(shù)，問共可得到多少個不同的三位數(shù)？
5．由1，2，3，4，5，6這六個數(shù)字能組成多少個大于34500的五位數(shù)？
6．今有一角幣一張，兩角幣一張，伍角幣一張，一元幣四張，伍元幣兩張，用這些紙幣任意付款，可以付出不同數(shù)額的款子共有多少種？
7．將三封信投到5個郵筒中的某幾個中去，有多少種不同的投法？
8．從字母a，a，a，b，c，d，e中任選3個排成一行，共有多少種不同的排法？
參考資料 >