在數(shù)學(xué)中，三角形的三條中線相交于一點，把三角形的三條中線的交點，叫作三角形的重心。
三角形的重心定理為三角形的三條中線相交于一點，這個交點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍。
此外，當(dāng)三角形為等腰三角形時，底邊的高（線）與中線重合，此時，重心與垂心一般不重合。當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時，同一邊上的高與中線重合，且三角形的重心與垂心重合。
證明
已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交于O，CO延長線交AB于F。求證：F為AB中點。
證明1：燕尾定理：
S(△AOB)=S(△AOC)，
又S(△AOB)=S(△BOC)，
∴S(△AOC)=S(△BOC)，
再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。
證明2：塞瓦定理：
如圖1，在△ABC中，AD、BE、CF是中線，
則AF=FB，BD=DC，CE=EA。
∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1
∴AD、BE、CF交于一點
即三角形的三條中線交于一點。
性質(zhì)
重心的幾條性質(zhì)：
1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均。
5.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。
6.三角形ABC的重心為G，點P為其內(nèi)部任意一點，則3PG2=(AP2+BP2+CP2)-1/3(AB2+BC2+CA2)。
7.在三角形ABC中，過重心G的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP+AC/AQ=3
8.從三角形ABC的三個頂點分別向以他們的對邊為直徑的圓作切線，所得的6個切點為Pi，則Pi均在以重心G為圓心，r=1/18(AB2+BC2+CA2)為半徑的圓周上。
9、G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點，則PA2+PB2+PC2=GA2+GB2+GC2+3PG2。
重心確定方法
對于均質(zhì)物體，如在幾何形體上具有對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ中心，則該物體的重心或形心必在此對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ中心上。下面介紹幾種常用的確定重心位置的方法。
1.組合法
工程中有些形體雖然比較復(fù)雜，但往往是由一些簡單形體的組合，這些形體的重心通常是已知的或易求的。
2.負(fù)面積法
如果在規(guī)則形體上切去一部分，例如鉆一個孔等，則在求這類形體的重心時，可以認(rèn)為原形體是完整的，只是把切去的部分視為負(fù)值（負(fù)體積或負(fù)面積）。
3.實驗法（平衡法）
如物體的形狀不是由基本形體組成，過于復(fù)雜或質(zhì)量分布不均勻，其重心常用實驗方法來確定。主要包括懸掛法和稱重法。
重心的應(yīng)用
數(shù)學(xué)應(yīng)用
⑴求線段長
例1 如圖2所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，點D是斜邊AB的中點，當(dāng)G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于點E，若BC=6cm，則GE的長度。
解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=BC=12，
D是斜邊AB的中點，∴CD=1/2AB=6，
G是Rt△ABC的重心，∴CG=2/3CD=4，
由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30°。
Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4，∴GE=1/2CG=2（cm）
⑵求面積
例2在△ABC中，中線AD、BE相交于點O，如圖3，若△BOD的面積等于5，求△ABC的面積。
解：∵O是△ABC的重心，∴AO∶OD=2∶1，
∴S△AOB∶S△BOD=2∶1，即S△AOB=2 S△BOD=10，
∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15，
又∵AD是△ABC的中線， S△ABC=2 S△ABD=30。
工程應(yīng)用
重心在工程中具有重要的意義。例如，水壩的重心位置關(guān)系到壩體在水壓力作用下能否維持平衡；飛機(jī)的重心位置設(shè)計不當(dāng)就不能安全穩(wěn)定地飛行；構(gòu)件截面的重心（形心）位置將影響構(gòu)件在載荷作用下的內(nèi)力分布規(guī)律，與構(gòu)件受力后能否安全工作有著緊密的聯(lián)系。總之，重心與物體的平衡、物體的運(yùn)動以及構(gòu)件的內(nèi)力分布是密切相關(guān)的。
參考資料 >