超橢圓（superellipse），也稱為Lamé曲線或拉梅曲線，是一種在勒內·笛卡爾坐標系下的封閉曲線，具有橢圓的長軸、短軸和對稱性特點。當參數n的值不同，超橢圓的形狀會有顯著變化，從星形到圓形再到帶圓角的長方形。特別地，n為4時的超橢圓被稱為方圓形。
介紹
超橢圓（superellipse）也稱為Lamé曲線，是在笛卡兒坐標系下滿足以下方程式的點的集合：
$$|{\frac {x}{a}}|^{n} + |{\frac {y}}|^{n} = 1$$
其中n、a及b為正數。參數a及b稱為曲線的半直徑（semi-diameters），而n決定了曲線的形狀。當n在0和1之間時，超橢圓的圖形類似一個曲線的四角星，四邊的曲線往內凹。n為1時，超橢圓的圖形為一菱形，四個頂點為（±a, 0）及（0, ±b）。n在1和2之間時，超橢圓的圖形類似菱形，但四邊是往外凸的曲線。n為2時，超橢圓的圖形即為橢圓，若a = b時則為一個圓形。當n大于2時，超橢圓的圖形看似四角有圓角的長方形，曲線的曲率在（±a, 0）及（0, ±b）四點為0。n < 2的超橢圓也稱為次橢圓（hypoellipse），n > 2的超橢圓則稱為過橢圓（hyperellipse）。當n ≥ 1，且a = b=1時的超橢圓是二維Lp空間下的單位圓，n即為其p-范數。
超橢圓的極點為（±a, 0）及（0, ±b），而其四個“角”為（±sa, ±sb），其中 $$s=2^{-{\frac {1}{n}}}$$。
數學性質
超橢圓是一種平面代數曲線，當n為一個非零的有理數p/q（最簡分數形式）時，若n為正數，其曲線次數為pq，若n為負數，其曲線次數為2pq。若a和b均為1且n為偶數，則此超橢圓為一n次的費馬曲線，此時超橢圓沒有奇點，但一般而言超橢圓中會有奇點存在。
歷史
超橢圓在勒內·笛卡爾坐標系下的表示式是由1795年出生的法國數學家拉梅，由橢圓的方程式擴展而得。字體設計師赫爾曼·察普夫在1952年設計的Melior字體，利用超橢圓作為字母o的外形。三十年后高德納設法選擇了介于橢圓及超橢圓之間的曲線（兩者都用樣條函數近似），作為他的計算機 Modern字體。
1959年時斯德哥爾摩提出了其市中心賽格爾廣場圓環的設計競賽。丹麥詩人皮亞特·海恩(1905–1996)的設計以是一個n = 2.5，a/b = 6/5的超橢圓為基礎。他的說明強調了超橢圓在直線與圓弧之間的平衡，提出超橢圓是介于圓和長方形之間的理想形狀。賽格爾廣場在1967年完成，而皮亞特·海恩繼續在其他的藝術品中使用超橢圓，包括床、碟子、桌子等。他將超橢圓以長軸為軸心旋轉，形成了一個立體的超級蛋，其特點是可以平面上直立，不會倒下，因此變成一個特別的玩具。
1968年在巴黎為越南戰爭談判時，談判者不滿意談判桌的外形，Balinski、Kieron Underwood及Holt在一封寄給紐約時報的信件中建議以超橢圓作為談判桌的外形。同年，墨西哥城主辦的奧運會也以超橢圓為阿茲特克體育場的外形。沃爾多·托布勒在1973年提出了托布勒超橢圓投影，其中的經線就是用超橢圓來表示。美式橄欖球世界杯球隊匹茲堡鋼人的標志是三個相連的超橢圓。
參考資料 >