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非空拓撲空間若存在一組由既開又閉集構成的基，則稱之為零維空間（zero-dimensional space）。特別地，在緊致T0的條件下，零維與全不連通等價。
定義
數學上，零維空間可以按照不同的維數概念來定義，但維數為零的拓撲空間不一定等價。以下是兩種常見的定義：
覆蓋維數：一個拓撲空間是零維空間，若空間的任何開覆蓋都有一個加細，使得空間內每一點都在這個加細的恰好一個開集內。
小歸納維數：一個拓撲空間是零維空間，若空間有一個由閉開集組成的基。
對于可分可度量化空間，這兩個概念是等價的，這一點由烏雷松定理所證明，該定理指出這類空間的覆蓋維數和小歸納維數相等。
性質
零維空間的性質與其它拓撲性質緊密相關。例如，一個零維豪斯多夫空間必定是完全不連通空間，這意味著在這樣的空間中，不存在任何連續的實數值函數可以在任意兩點之間取到所有的中間值。然而，完全不連通空間不一定是零維的，這表明零維性質在某種意義上比完全不連通更強。
此外，一個局部緊豪斯多夫空間是零維空間，當且僅當這個空間是完全不連通的。這一性質說明了在局部緊豪斯多夫空間中，零維性與完全不連通性是等價的。
零維空間的例子
零維豪斯多夫空間可以被視為拓撲冪集$2^{I}$的子空間，其中$2=\{0,1\}$賦予了離散拓撲，而$I$是一個指標集。如果$I$是可數無限的，那么$2^{I}$就是著名的格奧爾格·康托爾空間，這是一個經典的零維空間的例子。
結論
零維空間在拓撲學中是一個重要的概念，它不僅與空間的維數有關，還與空間的其它拓撲性質如連通性和分離性有著密切的聯系。通過不同的定義和性質，我們可以更深入地理解零維空間的結構和特點。
參考資料 >