結構常數是定義在李群上的一組常數。它們決定了該李群的李代數的元素之間的李括號。反過來，給定一組滿足某些性質的常數，就一定存在以它們為結構常數的局部李群。
基本介紹
定理1 設g是有限維李代數，則存在惟一一個單連通李群，以g為其李代數。此外，如果G是另一個以g為其李代數的連通李群，則 是G的單連通個李群G的李代數。如果設想 是g的一組基，那么就存在一組常數 使得
由于李括號還滿足反對稱性和Jacobi恒等式，因此不難驗證 還必須滿足下面的限制條件：
(1)反對稱性：
(2)Jacobi恒等式：
由于 構成一組基，如果我們知道，利用式(1)和李括號的雙線性即可重新構造出李代數g來。因此稱滿足條件即式(2)和式(3)的常數組 為李代數g的結構常數。反之，不難證明，任意一組滿足式(2)和式(3)的常數 都是某個李代數的結構常數。
如果選取g的另一組基 為
式中，矩陣 可逆，則相對于 的結構常數為
式中，是 的逆矩陣。
因此，兩組結構常數確定同一個李代數的充分必要條件是：存在矩陣，使它們滿足式(5)。于是由定理1可見，在連通李群的李代數和滿足式(2)和式(3)的結構常數的等價類之間存在一一對應。所以，可以通過研究代數方程式(2)和式(3)來研究有限維李代數的性質，當然這并不能代替整個李群理論。
交換子表
展示一個李代數的結構，最方便的方法是用交換子表。如果g是一個r 維李代數，?是它們的一組基，那么g的交換子表就是一個?表格，第個元素就表示李括號?。由于李括號是反對稱的，交換子表也是反對稱的，特別是對角線上的元素為0。有了交換子表，結構常數就可以很方便地從交換子表中讀出，即?就是交換子表中第個元素里的系數。
以特殊線性群 的李代數 為例說明交換子表的表示法。此時g由跡為零的矩陣全體組成，取一組基為
那么相應的交換子表見表1。
例如，從表中可知 等。結構常數是，其他 全為零。
無窮小群作用
下面簡要地介紹無窮小群作用。
設G是作用在流形M上的局部變換群，即
那么相應地，存在G的李代數g在M上的無窮小作用。換言之，如果，則定義 是M上的這樣一個向量場，其確定的流與G的單參數子群在M上的作用重合，即對，滿足關系：
式中， 。進一步注意到，由于在有定義的地方，有如下等式成立：
從而對任意，有
由李括號的性質可知，是g到M上的向量場的李代數的一個李代數同態，即
所以，一切與對應的向量場組成的集合形成M上的向量場的一個李代數，它與g同構；特別是具有與g相同的結構常數。
反之給定M上一個有限維向量場李代數，總存在一個局部變換群，其無窮小作用由已知李代數生成。因此有下面的定理。
式中，是常數。那么存在一個李群G，其李代數以為相對于某組基的結構常數，并且G在M上的局部群作用使得曲由式(6)定義。
通常，忽略對映射的明顯依賴，而把李代數g和它的像視為等同。這樣，通過下面的公式從群變換可以重新得到g，即
g中的向量場V叫做G的群作用的一個無窮小生成元。定理2表明，只要已知形成一個李代數的基的無窮小生成元，那么總能通過取指數求得一個局部變換群，其李代數與已知李代數相同。
參考資料 >