雅可比橢圓函數(shù)，數(shù)學(xué)術(shù)語，常見于高等數(shù)學(xué)之中。
雅可比橢圓函數(shù)的定義
第一類橢圓積分
z=∫[(1-t^2)(1-k^2*t^2)]^(-1/2)dt (0~ω)
的反函數(shù)是雙周期的亞純函數(shù)，記作
ω=sn(z)=sn(z,k)
它具有基本周期：
ω=4K=4∫[1-k^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2)
ω'=2iK'=2i∫[1-k’^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2) k'=Sqr(1-k^2)
sn(z)稱為橢圓正弦，k為模，k‘為補模。若
sin(φ)=sn(z)
則稱φ為z的振幅函數(shù)，記作 φ=am(z) 又定義
cn(z)=cos(φ)=sqr(1-sn(z)^2) (橢圓余弦)
tn(z)=tan(φ)=sn(z)/cn(z) (橢圓正切)
dn(z)=sqr(1-k^2*sn(z)^2)
上式中 sn(z) cn(z) tn(z) dn(z) 統(tǒng)稱雅可比橢圓函數(shù)，它們都是二階橢圓函數(shù)。
雅可比橢圓函數(shù)的性質(zhì)
特殊點的值
z0 K/2K iK'/2 K+iK'/2iK'K+iK'sn(z)0(1+k'^2)^(-1/2)1 ik^(-1/2) k^(-1/2)∞1/kcn(z)1sqr(k'/(1+k'))0sqr((k+1)/k)-sqr((k-1)/k)∞-ik'/kdn(z)1 k'^(1/2)k' sqr(1+k) sqr(1-k)∞0
周期，零點，極點，留數(shù)
誘導(dǎo)公式表
sn(mK+niK±z)
cn(mK+niK±z)
dn(mK+niK±z)
基本關(guān)系
sn(z)^2+cn(z)^2=1
dn(z)^2+k^2*sn(z)^2=1
dn(z)^2-k^2*cn(z)^2=k'^2
am(-z)=-am(z)
sn(-z)=-sn(z)
cn(-z)=cn(z)
tn(-z)=-tn(z)
dn(-z)=-dn(z)
由此可見，雅可比橢圓函數(shù)的關(guān)系與圓函數(shù)（三角函數(shù)）相似。
轉(zhuǎn)換關(guān)系
加法公式
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倍數(shù)公式
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半數(shù)公式
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乘法公式
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積分公式
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