在數(shù)學(xué)分析中，半連續(xù)性是實(shí)值函數(shù)的一種性質(zhì)，分成上半連續(xù)與下半連續(xù)，半連續(xù)性較連續(xù)性弱。
形式定義
設(shè) 為拓?fù)淇臻g，而 為實(shí)值函數(shù)。若對(duì)每個(gè) 都存在 的開(kāi)鄰域 使得，則稱 在 上半連續(xù)。該條件也可以用上極限等價(jià)地表述：
若 在 上的每一點(diǎn)都是上半連續(xù)，則稱之為上半連續(xù)函數(shù)。
下半連續(xù)性可以準(zhǔn)此定義：若對(duì)每個(gè) 都存在 的開(kāi)鄰域 使得則稱 在 下半連續(xù)。用下極限等價(jià)地表述為：
若 在 上的每一點(diǎn)都是下半連續(xù)，則稱之為 下半連續(xù)函數(shù)。
拓?fù)浠?賦予實(shí)數(shù)線 較粗的拓?fù)洌习脒B續(xù)函數(shù)可以詮釋為此拓?fù)湎碌倪B續(xù)函數(shù)。若取基為，則得到下半連續(xù)函數(shù)。
例子
考慮函數(shù)
此函數(shù)在 上半連續(xù)，而非下半連續(xù)。
下整數(shù)函數(shù) 處處皆上半連續(xù)。同理，上整數(shù)函數(shù) 處處皆下半連續(xù)。
性質(zhì)
一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件是它在該點(diǎn)既上半連續(xù)也下半連續(xù)。
若 在某一 點(diǎn)上半連續(xù)，則 亦然；若兩者皆非負(fù)，則 在該點(diǎn)也是上半連續(xù)。若 在一點(diǎn)上半連續(xù)，則 在該點(diǎn)下半連續(xù)，反之亦然。
若為緊集（例如閉區(qū)間），則其上的上半連續(xù)函數(shù)必取到極大值，而下半連續(xù)函數(shù)必取到極小值。
設(shè) 為下半連續(xù)函數(shù)序列，而且對(duì)所有 有
則 是下半連續(xù)函數(shù)。
開(kāi)集的指示函數(shù)為下半連續(xù)函數(shù)，閉集的指示函數(shù)為上半連續(xù)函數(shù)。
參考資料 >