在數學中，康托爾集，由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入（但由亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯在1875年發現），是位于一條線段上的一些點的集合，具有許多顯著和深刻的性質。
引入
通過考慮這個集合，康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合，但是最常見的構造是康托爾三分點集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造，作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子。實際上斯梅爾的馬蹄映射也會形成康托爾集。
康托爾集的構造
康托爾集的構造是一個遞歸過程。首先從區間[0,1]中去掉中間的三分之一(1/3, 2/3)，留下兩條線段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。然后，把這兩條線段的中間三分之一都去掉，留下四條線段：[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]。康托爾集就是由所有過程中沒有被去掉的區間[0,1]中的點組成。這個過程可以由遞歸的方法描述，首先令：
C? := [0,1]
則第n步遞歸得到的結果：
C? := (1/3)C??? ∪ (2/3 + (1/3)C???) = (1/3)(C??? ∪ (2 + C???)), 對于n ≥ 1
所以：
C := lim?→∞ C? = ??=?∞ C? = ??=?∞ C?, 對于m ≥ 0。
下面的圖顯示了這個過程的最初六個步驟。有些學術論文詳細描述了康托爾集的明確公式。
康托三分集
取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段再分別三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段，……，將這樣的操作一直繼續下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾點集，記為P。稱為康托爾點集的極限圖形長度趨于0，線段數目趨于無窮，實際上相當于一個點集。操作n次后
邊長
邊數
根據公式
所以格奧爾格·康托爾點集分數維是。
性質特點
康托三分集中有無窮多個點，所有的點處于非均勻分布狀態。此點集具有自相似性，其局部與整體是相似的，所以是一個分形系統。康托三分集具有：
1. 自相似性；
2. 精細結構；
3. 無窮操作或迭代過程；
4. 傳統幾何學陷入危機。用傳統的幾何學術語難以描述，它既不滿足某些簡單條件如點的軌跡，也不是任何簡單方程的解集。其局部也同樣難于描述。因為每一點附近都有大量被各種不同間隔分開的其它點存在。
5. 長度為零；
6. 簡單與復雜的統一。
康托爾集P具有三條性質：
1. P是完備集。
2. P沒有內點。
3. P的基數為c。
康托爾集是一個基數為c的疏朗完備集。
三進制理解
在長度為1的直線段中，將所有點按三進制編碼。
即第一次去掉的點，為三進制編碼小數中，第一位小數為1的所有點；同理，第N次操作，就是去掉三進制小數中，第N位為1的點。
最后得到的康托爾集，用三進制表示，就是小數位只有0，2的所有小數。
說明：0.1(3)是格奧爾格·康托爾集中的點，但不符合上述描述。在上述描述中，是以0.02（2的循環）表示的。
如果要消除這種循環表示方法，可以定義為：康托爾集，用三進制表示，就是小數位的有效數字最后一位可以為1，2；其他位數只有0，2的所有小數。
參考資料 >