霍奇猜想是代數(shù)幾何的一個(gè)重大的懸而未決的問(wèn)題。由威廉·霍奇提出，它是關(guān)于非奇異復(fù)代數(shù)簇的代數(shù)拓?fù)浜退啥x子簇的多項(xiàng)式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)的猜想，屬于千禧年大獎(jiǎng)難題之一。霍奇猜想與費(fèi)馬大定理和黎曼猜想成為廣義相對(duì)論和量子力學(xué)融合的m理論結(jié)構(gòu)幾何拓?fù)漭d體和工具。
概念
霍奇猜想(Hodge Conjecture)
在非奇異復(fù)射影代數(shù)簇上,任一霍奇類(lèi)是代數(shù)閉鏈類(lèi)的有理線(xiàn)性組合。
背景
二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法?；鞠敕ㄊ菃?wèn)在怎樣的程度上，可以把給定對(duì)象的形狀通過(guò)把維數(shù)不斷增加的簡(jiǎn)單幾何營(yíng)造塊粘合在一起來(lái)形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來(lái)推廣；最終導(dǎo)致一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)研究中所遇到的形形色色的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)時(shí)取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來(lái)。在某種意義下，必須加上某些沒(méi)有任何幾何解釋的部件?；羝娌孪霐嘌裕瑢?duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類(lèi)型來(lái)說(shuō)，稱(chēng)作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱(chēng)作代數(shù)閉鏈的幾何部件的（有理線(xiàn)性）組合。
問(wèn)題
霍奇猜想是代數(shù)幾何的一個(gè)重大的懸而未決的問(wèn)題。它是關(guān)于非奇異復(fù)代數(shù)簇的代數(shù)拓?fù)浜退啥x子簇的多項(xiàng)式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)的猜想。它在霍奇的著述的一個(gè)結(jié)果中出現(xiàn)，在1930至1940年間通過(guò)包含額外的結(jié)構(gòu)豐富了德拉姆上同調(diào)的表述，這種結(jié)構(gòu)出現(xiàn)于代數(shù)簇的情況（但不僅限于這種情況）。
現(xiàn)狀
黎曼假設(shè)、龐加萊猜想、霍奇猜想、貝赫和斯維訥通－戴爾猜想、納維葉―斯托克斯方程、楊―米爾理論、P問(wèn)題對(duì)NP問(wèn)題被稱(chēng)為21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題。2000年5月，美國(guó)的克萊數(shù)學(xué)促進(jìn)會(huì)為每道題懸賞百萬(wàn)美元求解。目前，這一難題仍沒(méi)有被破解。
已知情形
對(duì)于(1,1)類(lèi)的霍奇猜想已經(jīng)在霍奇本人提出本猜想前的1924年由Lefschetz證明。換句話(huà)說(shuō)，霍奇猜想對(duì)于H^2成立。實(shí)際上，這是霍奇提出其猜想的動(dòng)機(jī)之一。
除此以外，還成立以下定理：如果霍奇猜想對(duì)于度數(shù)p的霍奇類(lèi)成立，其中p
霍奇的想法
蘇格蘭數(shù)學(xué)家威廉·霍奇：怎么能知道哪些類(lèi)的同源性在任何給定歧管，相當(dāng)于一個(gè)代數(shù)周期？一個(gè)偉大的想法。只是不能證明。有一個(gè)小的平滑的“空間”（在每個(gè)鄰域類(lèi)似于歐幾里德空間，但在更大的規(guī)模上，“空間”是不同的），這是由一群方程描述，使得這個(gè)空間具有均勻的維度。然后獲取基本的“拓?fù)洹毙畔ⅲ⑵浞纸獬筛〉膸缀尾糠郑ㄓ蓴?shù)字對(duì)標(biāo)記）。幾何部分內(nèi)的理性東西被稱(chēng)為“Hodge循環(huán)”。每個(gè)較小的幾何部分是稱(chēng)為代數(shù)循環(huán)的幾何部分的組合?；旧嫌幸粋€(gè)“樁”。仔細(xì)看看它，看看它是由許多“切碎的木材”組成?！扒兴榈哪静摹崩锩嬗小皌wigs”（霍奇循環(huán)）。霍奇猜想斷言，對(duì)于成堆的切碎的木材，樹(shù)枝實(shí)際上是被稱(chēng)為原子（代數(shù)循環(huán)）的幾何部分的組合。
這個(gè)叫霍奇猜想的東東，用通俗的話(huà)說(shuō)，就是“再好再?gòu)?fù)雜的一座宮殿，都可以由一堆積木壘成”。用文人的話(huà)說(shuō)就是：任何一個(gè)形狀的幾何圖形，不管它有多復(fù)雜（只要能想得出來(lái)），它都可以用一堆簡(jiǎn)單的幾何圖形拼成。在實(shí)際工作中，無(wú)法在二維平面的紙上繪畫(huà)出來(lái)一種復(fù)雜的多維圖形，霍奇猜想就是把復(fù)雜的拓?fù)鋱D形分拆成為一個(gè)個(gè)構(gòu)件，只要按照規(guī)則安裝就可以理解設(shè)計(jì)者的思想?；羝娌孪胩岢鲆呀?jīng)快80年了，至今有了第一個(gè)例子。
參考資料 >
兩個(gè)數(shù)論黑洞合并產(chǎn)生的“引力波”----中科院科學(xué)智慧火花.-.2022-02-18