龐加萊映射是數(shù)學(xué)和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)研究中的一個(gè)重要概念，它涉及連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的狀態(tài)空間中周期軌道與特定低維子空間（龐加萊截面）的橫截交點(diǎn)。通過在亨利·龐加萊截面上觀察軌跡的穿過情況，可以簡(jiǎn)潔地判斷運(yùn)動(dòng)的形態(tài)，從而得到龐加萊映像。
內(nèi)容簡(jiǎn)介
龐加萊映射是由相空間中軌線運(yùn)動(dòng)定義的一種映射。當(dāng)軌線反復(fù)穿越同一截面時(shí)，反映后繼點(diǎn)對(duì)先行點(diǎn)依賴關(guān)系的映射。一個(gè)連續(xù)非線性動(dòng)力系統(tǒng)的求解是非常困難的，法國數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)給出了相圖分析法。在相圖中雖然不能定量地知道物理量隨時(shí)間的變化，但可以定性地得到軌線的形態(tài)類型及其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，從而了解動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的全局圖像。為了更清楚了解高維相空間運(yùn)動(dòng)的形態(tài)，亨利·龐加萊在連續(xù)運(yùn)動(dòng)的軌線上用一個(gè)截面(稱龐加萊截面)將其橫截，軌線在截面上穿過的情況就可以簡(jiǎn)捷地判斷運(yùn)動(dòng)的形態(tài).以S記龐加萊截面，xn(n=0，1，2，…)為軌線前一次穿過S的點(diǎn)，xn+1為軌線后一次穿過S的點(diǎn)，xn+1可看成xn的一種映射：
xn+1=f(xn) (n=0，1，2，…)，
這個(gè)映射就稱為龐加萊映射。這樣就可從概念上把一個(gè)連續(xù)的運(yùn)動(dòng)化簡(jiǎn)為離散映射來研究。
同時(shí)，該映射的不動(dòng)點(diǎn)則反映相空間的周期運(yùn)動(dòng)。如果運(yùn)動(dòng)是二倍周期的，則在亨利·龐加萊截面有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；如果運(yùn)動(dòng)是四倍周期的，則有四個(gè)不動(dòng)點(diǎn)等。
映射
映射亦稱函數(shù)。數(shù)學(xué)的基本概念之一。也是一種特殊的關(guān)系。設(shè)G是從X到Y(jié)的關(guān)系，G的定義域D(G)為X，且對(duì)任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y(jié)的映射。即關(guān)系G為映射時(shí)，應(yīng)滿足下列兩個(gè)條件：
1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個(gè)被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X)。f(x)滿足：
1) f(x)∈Y.
2) G(x，f(x))成立(x∈X).
3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).
關(guān)系G常使用另一些記號(hào)：f：X→Y或XY。f與G的關(guān)系是y=f(x)(x∈X)，當(dāng)且僅當(dāng)G(x，y)成立?？扇∽冇騒中的不同元素為值的變?cè)Q為自變?cè)蜃宰兞?。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變?cè)Q為因變?cè)蛞蜃兞俊Ｊ技疿稱為映射f的定義域.記為D(f)或dom(f)。終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f)。Y中與X中的元素有關(guān)系G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f)。當(dāng)y=f(x)時(shí)，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。對(duì)于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象。記為f(A)。對(duì)于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。
相空間
相空間又稱“相宇”。 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中為描述系統(tǒng)的微觀狀態(tài) 所采用的多維空間。如果只考慮微觀粒子 的移動(dòng)，則每一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以由 空間位置x、y、z以及相應(yīng)動(dòng)量分量px、 py、pz來確定。對(duì)于N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)， 如以N個(gè)粒子的x1、y1、z1、…、xN、yN、 zN、px1、py1、pz1、…、pxN、pyN、pzN為坐 標(biāo)軸，組成6N維空間，則該空間中的每一 點(diǎn)，即代表系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 則代表微觀狀態(tài)的變化，這種空間稱為“相 空間”或“γ空間”。如以x、y、z、px、py、 pz為坐標(biāo)軸，組成6維空間，則空間中每一 點(diǎn)代表處于一定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一個(gè)粒于系 統(tǒng)的微觀狀態(tài)則由N個(gè)點(diǎn)的集合來代表，點(diǎn)集的運(yùn)動(dòng)則代表微觀狀態(tài)的變化，這種空間稱為“子相空間”或“μ空間”。如果還 要考慮除移動(dòng)以外其他的微觀運(yùn)動(dòng)形態(tài)， 如轉(zhuǎn)動(dòng)、振動(dòng)等，則相空間的維數(shù)相應(yīng)增 加。
相圖
相圖表示不均勻體系中“相”與成分、溫度、壓強(qiáng)等熱力學(xué)參數(shù)之間關(guān)系。從被測(cè)定的相圖的種類而言，有平衡圖、亞穩(wěn)圖和表達(dá)某種特性的相圖。其中以平衡圖研究應(yīng)用的最為廣泛。
平衡圖是表示不同溫度、壓力以及不同成分下物體系中各相熱力學(xué)平衡關(guān)系的一種圖解，也稱作狀態(tài)圖。等溫等壓條件下，熱力學(xué)平衡狀態(tài)總是對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)總的Gibbs自由能G最低的狀態(tài)。因此，原則上說，總是可以由已知各相在給定溫度和壓強(qiáng)下的自由能G隨成分變化的相對(duì)關(guān)系求出平衡圖，當(dāng)今不少相圖計(jì)算的工作就是基于這樣的思想。平衡圖更多是由實(shí)驗(yàn)測(cè)定的，常用的實(shí)驗(yàn)方法有熱分析法、金相法、X射線法、電阻法、膨脹法以及磁性法、硬度法，熱電勢(shì)法等等。最常用的平衡圖是在定壓條件下用溫度成分表征的平衡圖，如二元相圖、三元相圖等.二元相圖指由二組元組成體系的相圖，由于表征成分的獨(dú)立變量只有一個(gè)(x1+x2=1)，常用橫坐標(biāo)表示成分(可以是重量百分?jǐn)?shù)，也可以是原子百分?jǐn)?shù))，縱坐標(biāo)表示溫度.所以等壓下的二元相圖是一個(gè)平面圖.最簡(jiǎn)單類型的二元相圖有勻晶相圖、共晶相圖、包晶相圖、形成化合物(或中間相)的相圖、偏晶相圖，以及有固態(tài)轉(zhuǎn)變的共析、包析等的相圖。從這些相圖可以知道不同成分的合金，在某溫度下的平衡狀態(tài)有哪些相，溫度改變時(shí)，可能發(fā)生哪些轉(zhuǎn)變，在兩相平衡區(qū)還可以利用杠桿定律知道各相的相對(duì)數(shù)量和相的成分等等。
實(shí)際固體材料中，不少相是處于亞穩(wěn)狀態(tài)，這種狀態(tài)決定于溫度、壓力和其它條件的連續(xù)變化，因而構(gòu)成了一個(gè)比平衡圖更復(fù)雜的體系。圖1為Al-Cu合金中G.P.區(qū)和θ″相溶解度的相圖。G.P.區(qū)和θ″相都是亞穩(wěn)相，所以這是一個(gè)亞穩(wěn)相圖。由于非晶材料、準(zhǔn)晶材料和快冷技術(shù)的出現(xiàn)，亞穩(wěn)相圖的研究已成為一個(gè)值得重視的方向。
參考資料 >