負(fù)二項分布是統(tǒng)計學(xué)上一種離散概率分布。滿足以下條件的稱為負(fù)二項分布：實驗包含一系列獨立的實驗每個實驗都有成功、失敗兩種結(jié)果，成功的概率是恒定的，實驗持續(xù)到r次成功，r為正整數(shù)。
簡介
滿足以下條件的稱為負(fù)二項分布
1.實驗包含一系列獨立的實驗。
2.每個實驗都有成功、失敗兩種結(jié)果。
3.成功的概率是恒定的。
4.實驗持續(xù)到r次成功，r可以為任意正數(shù)。
當(dāng)r是整數(shù)時，負(fù)二項分布又稱布萊士·帕斯卡分布（布萊士·帕斯卡分布），其概率密度函數(shù)為（其中一種形式，兩種形式對比看下文）：
它表示，已知一個事件在伯努利試驗中每次的出現(xiàn)概率是p，在一連串伯努利試驗中，一件事件剛好在第r+k次試驗出現(xiàn)第r次的概率。
定義
假設(shè)有一組獨立的伯努利數(shù)列，每次實驗有兩種結(jié)果“成功”和“失敗”。每次實驗的成功概率是p，失敗的概率是1－p。我們得到一組數(shù)列，直到預(yù)定的失敗數(shù)發(fā)生r次。那么結(jié)果為“成功”的隨機(jī)數(shù)X會服從負(fù)二項分布（或布萊士·帕斯卡）分布：
X~NB(r;P)
我們在現(xiàn)實生活中也常有應(yīng)用，成功和失敗的結(jié)果可能或者可能不是我們平時所認(rèn)認(rèn)為的“好”與“壞”。假設(shè)我們把負(fù)二項分布用在一臺設(shè)備在故障前正常運行的天數(shù)的模型，這種情況下，設(shè)備一天運行正常，記為結(jié)果“成功”，反之故障的話結(jié)果為“失敗”。如果我們把負(fù)二項分析用在動作員嘗試射門得分前的嘗試次數(shù)模型，這種情況下，每次不成功的嘗試在模型里為“成功”，并且得分記為“失敗”。如果我們拋硬幣，負(fù)二項分布可以把頭像一面作為“成功”來記數(shù)，在我們提到失敗的結(jié)果之前。在下面的概率密度函數(shù)里，P是成功的概率，1－p是失敗的概率。
負(fù)二項分布的概率密度函數(shù)為：
這里的括號里的數(shù)為二項分布的系數(shù)，并且等于
該數(shù)可以按下面的格式表示，也正是解釋了“負(fù)二項”的名字的由來：
為了理解上面的概率密度函數(shù)，因為k+r次重復(fù)試驗的結(jié)果假設(shè)是獨立的，需要注意每個特定的k作為成功和r失敗的數(shù)列為(1-p)p。因為第r個失敗是最后發(fā)生的，所以需要k+r-1次重復(fù)實驗中有k次成功的。上面的二項分布系數(shù)，正好它的組合長度為k+r-1。
遞推公式為
舉例
舉例說，若我們擲子，擲到一即視為成功。則每次擲骰的成功率是1/6。要擲出三次一，所需的擲骰次數(shù)屬于集合{3,4,5,6,...}。擲到三次一的擲骰次數(shù)是負(fù)二項分布的隨機(jī)變量。要在第三次擲骰時，擲到第三次一，則之前兩次都要擲到一，其概率為(1/6)。注意擲骰是伯努利試驗，之前的結(jié)果不影響隨后的結(jié)果，即每次實驗為獨立隨機(jī)實驗。若要在第四次擲骰時，擲到第三次一，則之前三次之中要有剛好兩次擲到一，在三次擲骰中擲到2次1的概率為：
第四次擲骰要擲到一，所以要將前面的概率再乘(1/6)。
期望
參數(shù)為(r,p)的負(fù)二項分布的數(shù)列k+r的期望是r/(1-p)。為了更直觀的觀察，想象上面的實驗進(jìn)行了許多次，也就是說，進(jìn)行特定的實驗直到r個失敗出現(xiàn)，然后另外的一個特定的實驗，然后是另外的實驗，等等。寫下每次實驗的這些嘗試的次數(shù)：a,b,c…并且把a(bǔ)+b+c+…=N。現(xiàn)在我們對失敗的預(yù)期為N(1-p)。我們說實驗重復(fù)了n次，并且總共有有nr個失敗。所以我們估計nr=N(1-p)，所以N/n=r/(1-p)。注意N/n僅僅是平均每個實驗的嘗試次數(shù)。這就是我們所說的“期望”。每次實驗的平均成功的嘗試次數(shù)為N/n-r，期望值等于r/(1-p)-r=rp/(1-p)。
實數(shù)r的延伸
把負(fù)二項分布的定義延伸到到的參數(shù)r。盡管很難想象一個非整數(shù)的失敗次數(shù)，我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^概率密度函數(shù)在形式上定義這個分布。
就像之前，我們說X服從負(fù)二項分布（或者波利亞分布），如果它有一個如下所示的概率密度函數(shù)：
這里r是一個正實數(shù)。通過乘法公式，二項分布系數(shù)可以重新定義，并且可以重新寫成gamma分布的公式。
注意二項分布序列和上面的內(nèi)容里，0≤p≤1.
因此，概率密度函數(shù)的項實際上可以合并成一項。
替代公式
有一些書里的負(fù)二項分布的公式定義可能和這里的有一些小區(qū)別。最常見的變化就是：
X是實驗總次數(shù)，得到r個失敗的嘗試。不僅僅是成功的次數(shù)。因此，實驗總次數(shù)等于失敗數(shù)加成功數(shù)，這個不同于這里定義的X。
為了把公式換這種定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換，把k用k-r代替，并且從均值、中位數(shù)，或者眾數(shù)中減去r。為了將按本節(jié)定義的負(fù)二項分布的公式轉(zhuǎn)換成本文里的公式，需要用k+r代替k，并且在均值，中位數(shù)，眾數(shù)中加上r。
這個可能比上面的版本看起來更像二項分布，注意二項分布的參數(shù)是按順序減少的：最后一個失敗必然在最后發(fā)生，所以其它的事件有更少的可利用的位置，在計算順序可能性時。
注意這里的負(fù)二項分布的定義沒有推廣到正實數(shù)r。
P表示失敗的概率，不是成功的。為了把公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，每個地方用1-p代替p。X定義為失敗次數(shù)，而不是成功的，這里的定義X為失敗的，但P是成功的，和前面X表示成功但P表示失敗概率的情況用同樣的公式。但是失敗和成功的描述是一致的，并且和前面的進(jìn)行替換。
這兩個替代公式可能會同時使用，比如X表示總次數(shù)，P表示失敗次數(shù)。
負(fù)二項回歸，分布是在均值m項里就定義了，并且和線性回歸或者其它的一般線性回歸的解釋變量相關(guān)。概率密度函數(shù)變?yōu)?/p>
方差可以寫成m+m/r，參數(shù)r參考離散參數(shù)，形狀參數(shù)，集中系數(shù)，或者非均勻或者集中參數(shù)。集中參數(shù)特別常用于生態(tài)學(xué)用來描述獨立微生物。減少聚集參數(shù)r到0，與增加微生物聚集相一致。0到正無窮的增加相當(dāng)于沒有聚合，可以被描述成泊松分布。一些負(fù)二項回歸使用r的倒數(shù)并且當(dāng)作分散度參數(shù)。
有時候分布使用均值u和方差σ來參數(shù)化分布，這種情況下：
事件
在r為整數(shù)的特定情況下，負(fù)二項分布也可以稱作帕斯卡分布。它是在獨立重復(fù)的伯努利實驗中成功和失敗的數(shù)目的概率分布。因為k+r次概率為p的成功的伯努利實驗可以得到最后一次為失敗的k次成功和r次失敗的概率。換句話說，負(fù)二項分布為成功概率為p的伯努利過程中第r次失敗前的成功次數(shù)的概率分布。一個伯努利過程是離散的過程。因此，實驗次數(shù)，失敗、成功次數(shù)都是整數(shù)。
參考資料 >