詞目：卡爾曼濾波器
英文：Kalman filter
釋文：魯?shù)婪颉た柭?/a>濾波器是一種由卡爾曼（Kalman）提出的用于時變線性系統(tǒng)的遞歸濾波器。這個系統(tǒng)可用包含正交狀態(tài)變量的微分方程模型來描述，這種濾波器是將過去的測量估計誤差合并到新的測量誤差中來估計將來的誤差。
詞語解釋
學科：通信
詞目：卡爾曼濾波器
英文：Kalman filter
命名
這種濾波方法以它的發(fā)明者魯?shù)婪?E.卡爾曼（Rudolph E. Kalman）命名，但是根據(jù)文獻可知實際上Peter Swerling在更早之前就提出了一種類似的算法。
斯坦利。施密特(Stanley Schmidt)首次實現(xiàn)了卡爾曼濾波器。卡爾曼在NASA埃姆斯研究中心訪問時，發(fā)現(xiàn)他的方法對于解決阿波羅計劃的軌道預測很有用，后來阿波羅飛船的導航電腦便使用了這種濾波器。關(guān)于這種濾波器的論文由Swerling (1958)、Kalman (1960)與 Kalman and Bucy (1961)發(fā)表。
目前，卡爾曼濾波已經(jīng)有很多不同的實現(xiàn)。魯?shù)婪颉た柭?/a>最初提出的形式現(xiàn)在一般稱為簡單卡爾曼濾波器。除此以外，還有施密特 擴展濾波器、信息濾波器以及很多Bierman, Thornton 開發(fā)的 平方根濾波器的變種。也許最常見的卡爾曼濾波器是鎖相環(huán)，它在收音機、計算機和幾乎任何視頻或通訊設(shè)備中廣泛存在。
介紹
為了可以更加容易地理解卡爾曼濾波器，這里會應(yīng)用形象的描述方法來講解，而不是像大多數(shù)參考書那樣羅列一大堆的數(shù)學公式和數(shù)學符號。但是，他的5條公式是其核心內(nèi)容。結(jié)合現(xiàn)代的計算機，其實魯?shù)婪颉た柭?/a>的程序相當?shù)暮唵危灰憷斫饬怂哪?條公式。
在介紹他的5條公式之前，先讓我們來根據(jù)下面的例子一步一步的探索。
假設(shè)我們要研究的對象是一個房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗判斷，這個房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)我們用一分鐘來做時間單位）。假設(shè)你對你的經(jīng)驗不是100%的相信，可能會有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（White Gaussian Noise），也就是這些偏差跟前后時間是沒有關(guān)系的而且符合高斯分布（Gaussian Distribution）。另外，我們在房間里放一個溫度計，但是這個溫度計也不準確的，測量值會比實際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。
好了，現(xiàn)在對于某一分鐘我們有兩個有關(guān)于該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗的預測值（系統(tǒng)的預測值）和溫度計的值（測量值）。下面我們要用這兩個值結(jié)合他們各自的噪聲來估算出房間的實際溫度值。
假如我們要估算k時刻的是實際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時刻的溫度值，來預測k時刻的溫度。因為你相信溫度是恒定的，所以你會得到k時刻的溫度預測值是跟k-1時刻一樣的，假設(shè)是23度，同時該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，你對自己預測的不確定度是4度，他們平方相加再開方，就是5）。然后，你從溫度計那里得到了k時刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時該值的偏差是4度。
由于我們用于估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值，分別是23度和25度。究竟實際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計呢？究竟相信誰多一點，我們可以用他們的協(xié)方差來判斷。因為Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我們可以估算出k時刻的實際溫度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因為溫度計的協(xié)方差比較小（比較相信溫度計），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計的值。
現(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進入k+1時刻，進行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對了，在進入k+1時刻之前，我們還要算出k時刻那個最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。這里的5就是上面的k時刻你預測的那個23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進入k+1時刻以后k時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對應(yīng)于上面的3）。
就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把協(xié)方差遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運行的很快，而且它只保留了上一時刻的協(xié)方差。上面的Kg，就是卡爾曼增益（Kalman Gain）。他可以隨不同的時刻而改變他自己的值，是不是很神奇！
下面就要言歸正傳，討論真正工程系統(tǒng)上的魯?shù)婪颉た柭?/a>。
算法
在這一部分，我們就來描述源于Dr Kalman 的卡爾曼濾波器。下面的描述，會涉及一些基本的概念知識，包括概率（Probability），隨機變量（Random Variable），高斯或正態(tài)分配（Gaussian Distribution）還有State-space Model等等。但對于卡爾曼濾波器的詳細證明，這里不能一一描述。
首先，我們先要引入一個離散控制過程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個線性隨機差分方程（Linear Stochastic Difference equation）來描述：
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系統(tǒng)的測量值：
Z(k)=H X(k)+V(k)
上兩式子中，X(k)是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U(k)是k時刻對系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對于多模型系統(tǒng)，他們?yōu)榫仃嚒(k)是k時刻的測量值，H是測量系統(tǒng)的參數(shù)，對于多測量系統(tǒng)，H為矩陣。W(k)和V(k)分別表示過程和測量的噪聲。他們被假設(shè)成高斯白噪聲(White Gaussian Noise)，他們的covariance 分別是Q，R（這里我們假設(shè)他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化）。
對于滿足上面的條件(線性隨機導數(shù)系統(tǒng)，過程和測量都是高斯白噪聲)，卡爾曼濾波器是最優(yōu)的信息處理器。下面我們來用他們結(jié)合他們的covariances 來估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸出（類似上一節(jié)那個溫度的例子）。
首先我們要利用系統(tǒng)的過程模型，來預測下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k，根據(jù)系統(tǒng)的模型，可以基于系統(tǒng)的上一狀態(tài)而預測出現(xiàn)在狀態(tài)：
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
式(1)中，X(k|k-1)是利用上一狀態(tài)預測的結(jié)果，X(k-1|k-1)是上一狀態(tài)最優(yōu)的結(jié)果，U(k)為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量，如果沒有控制量，它可以為0。
到現(xiàn)在為止，我們的系統(tǒng)結(jié)果已經(jīng)更新了，可是，對應(yīng)于X(k|k-1)的covariance還沒更新。我們用P表示covariance：
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)對應(yīng)的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)對應(yīng)的covariance，A’表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過程的covariance。式子1，2就是卡爾曼濾波器5個公式當中的前兩個，也就是對系統(tǒng)的預測。
現(xiàn)在我們有了現(xiàn)在狀態(tài)的預測結(jié)果，然后我們再收集現(xiàn)在狀態(tài)的測量值。結(jié)合預測值和測量值，我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)(k)的最優(yōu)化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
其中Kg為卡爾曼增益(Kalman Gain)：
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)
到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)得到了k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k)。但是為了要令卡爾曼濾波器不斷的運行下去直到系統(tǒng)過程結(jié)束，我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k)的covariance：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)
其中I 為1的矩陣，對于單模型單測量，I=1。當系統(tǒng)進入k+1狀態(tài)時，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。這樣，算法就可以自回歸的運算下去。
卡爾曼濾波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 個基本公式。根據(jù)這5個公式，可以很容易的實現(xiàn)計算機的程序。
應(yīng)用實例
卡爾曼濾波的一個典型實例是從一組有限的，包含噪聲的，對物體位置的觀察序列（可能有偏差）預測出物體的位置的坐標及速度。在很多工程應(yīng)用(如雷達、計算機視覺)中都可以找到它的身影。同時，卡爾曼濾波也是控制理論以及控制系統(tǒng)工程中的一個重要課題。
例如，對于雷達來說，人們感興趣的是其能夠跟蹤目標。但目標的位置、速度、加速度的測量值往往在任何時候都有噪聲。卡爾曼濾波利用目標的動態(tài)信息，設(shè)法去掉噪聲的影響，得到一個關(guān)于目標位置的好的估計。這個估計可以是對當前目標位置的估計(濾波)，也可以是對于將來位置的估計(預測)，也可以是對過去位置的估計(插值或平滑)。
目標跟蹤示例代碼：（具體解釋請見參考資料）
Z=(1:100); %觀測值
noise=randn(1,100); %方差為1的高斯噪聲
Z=Z+noise;
X=[0;0]; %狀態(tài)
P=[1 0;0 1]; %狀態(tài)協(xié)方差矩陣
F=[1 1;0 1]; %狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣
Q=[0.0001,0;0,0.0001]; %狀態(tài)轉(zhuǎn)移協(xié)方差矩陣
H=[1 0]; %觀測矩陣
R=1; %觀測噪聲方差
figure;
hold on;
for i=1:100
X_ = F*X;
P_ = F*P*F'+Q;
K = P_*H'/(H*P_*H'+R);
X = X_+K*(Z(i)-H*X_);
P = (eye(2)-K*H)*P_;
plot(X(1), X(2)); %畫點，橫軸表示位置，縱軸表示速度
end
參考資料 >
視頻: 卡爾曼濾波的原理以及在MATLAB中的實現(xiàn).優(yōu)酷.2014-08-08