泊松括號作用于辛流形上的函數，給了流形上的函數空間一個李代數的結構。拉格朗日量則是E上的jet叢(射流叢)J上的函數；取拉格朗日量的纖維內的阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德變換就產生了一個時間上的對偶叢的函數，其在t的纖維是余切空間T*Et，它有一個自然的辛形式，而這個函數就是哈密頓量。由哈密頓流到處的辛同胚的族通常稱為哈密頓系統的哈密頓力學。這個情況下，在流形Q的每一點q余度量是退化的，因此余度量的階小于流行Q的維度，因而是一個亞黎曼流形。
定義
法國科學家S.-D.泊松求解哈密頓正則方程時所用的一種數學符號，它定義為：
式中和是2N個正則變數的兩個任意函數。泊松栝號經正則變換是不變的，即
特性
①
②
③,c為常數；
④；
⑤；
⑥
⑦正則方程可用泊松括號寫作：
⑧任一函數的全微分可寫作：
⑨正則方程的第一次積分可寫作：
在量子力學中的定義
泊松括號在量子力學中用來表示兩個算符的對易關系乘上（h是普朗克常數，）。
例如對算符合和有：這樣，量子力學中對力學量，上面⑨中的關系式依舊成立，即，
式中是厄密算符。
哈密頓力學
哈密頓力學是哈密爾頓于1833年建立的經典力學的重新表述。它由約瑟夫·拉格朗日力學演變而來，那是經典力學的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。但它可以使用辛空間不依賴于拉格朗日力學表述。關于這點請參看其數學表述。
適合用哈密頓力學表述的動力系統稱為哈密頓系統。
哈密頓系統可以理解為時間R上的一個纖維叢E,其纖維是位置空間。拉格朗日量則是E上的jet叢(射流叢)J上的函數；取拉格朗日量的纖維內的阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德變換就產生了一個時間上的對偶叢的函數，其在t的纖維是余切空間T*Et，它有一個自然的辛形式，而這個函數就是哈密頓量。
任何辛流形上的光滑實值函數H可以用來定義一個哈密頓系統。函數H稱為哈密頓量或者能量函數。該辛流形則稱為相空間。哈密頓量在辛流形上導出一個特殊的向量場，稱為辛向量場。
該辛向量場，稱為哈密頓向量場，導出一個流形上的哈密頓流。該向量場的一個積分曲線是一個流形的變換的單參數族；該曲線的參數通常稱為時間。該時間的演變由辛同胚給出。根據劉維爾定理每個辛同胚保持相空間的體積形式不變。由哈密頓流到處的辛同胚的族通常稱為哈密頓系統的哈密頓力學。
哈密頓向量場也導出一個特殊的操作，泊松括號。泊松括號作用于辛流形上的函數，給了流形上的函數空間一個李代數的結構。
當余度量是退化的時，它不是可逆的。在這個情況下，這不是一個黎曼流形，因為它沒有一個度量。但是，哈密頓量依然存在。這個情況下，在流形Q的每一點q余度量是退化的，因此余度量的階小于流行Q的維度，因而是一個亞黎曼流形。
這種情況下的哈密頓量稱為亞黎曼哈密頓量。每個這樣的哈密頓量唯一的決定余度量，反過來也是一樣。這意味著每個亞黎曼流形由其亞黎曼哈密頓量唯一的決定，而其逆命題也為真：每個亞黎曼流形有唯一的亞黎曼哈密頓量。亞黎曼測地線的存在性由Chow-Rashevskii定理給出。
哈密頓系統可以幾種方式推廣。如果不僅簡單的利用辛流形上的光滑函數的結合代數，哈密爾頓系統可以用更一般的交換酉實泊松代數表述。一個狀態是一個（裝備了恰當的拓撲結構的）泊松代數上的連續線形泛函，使得對于代數中的每個元素映射到非負實數。
參考資料 >