尖點(diǎn)（cusp）是曲線中的一種奇點(diǎn)，曲線在尖點(diǎn)。若一曲線可以由幾組光滑函數(shù)來表示，幾組光滑函數(shù)有交點(diǎn)，但曲線只通過此交點(diǎn)一次，此交點(diǎn)即為尖點(diǎn)。
簡介
在數(shù)學(xué)中，尖點(diǎn)（cusp）在舊文本中稱為奇點(diǎn)，是曲線上瞬間改變方向的一個(gè)點(diǎn)。下圖中給出了一個(gè)典型的例子。因此，尖點(diǎn)是曲線的奇點(diǎn)的一種。曲線在尖點(diǎn)時(shí)，沒有自相交的情形。
對于由可導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程定義的平面曲線
尖點(diǎn)是f和g的兩個(gè)導(dǎo)數(shù)都為零的點(diǎn)，并且其中至少有一個(gè)改變符號。在這個(gè)意義上，尖點(diǎn)是局部奇點(diǎn)，它們僅涉及參數(shù)t的一個(gè)值，與涉及多個(gè)值的自交點(diǎn)相反。
對于由隱式方程定義的曲線
尖點(diǎn)是F的泰勒展開的最低維的項(xiàng)；然而，并不是所有具有此屬性的奇點(diǎn)都是尖點(diǎn)。
平面曲線尖點(diǎn)可以通過平面的不同形狀被寫成以下形式： 其中并且是整數(shù)。
差分幾何分類
考慮兩個(gè)變量的平滑實(shí)值函數(shù)，如f（x，y），其中x和y是實(shí)數(shù)。所以f是從平面到線的一個(gè)函數(shù)。所有這些平滑函數(shù)由平面和線的不同形狀組成，源和目標(biāo)之間的坐標(biāo)變形不同。該動(dòng)作將整個(gè)函數(shù)分成等價(jià)類。
這樣的等價(jià)類的族由Ak 表示，其中k是非負(fù)整數(shù)，這個(gè)符號由V.I.Arnold提出。如果函數(shù)f位于的曲線中，那么函數(shù)f被認(rèn)為是類型A ，即在源和目標(biāo)中存在將坐標(biāo)變換成這些形式。這些簡單的形式 被稱為給出類型為Ak 的維度的正常表達(dá)式。注意，由于源中坐標(biāo)的變形變化為，所以A +與A 相同。所以我們可以從A2n 符號中減去。
舉例
普通的尖點(diǎn)由給出，即類型A 奇點(diǎn)的零電平集合。令f（x，y）為x和y的平滑函數(shù)，為了簡便起見，假設(shè)。那么（0,0）的f的類型A 奇點(diǎn)可以表征為：
（1）f的泰勒級數(shù)中的二次項(xiàng)，稱為L（x，y） ，其中L（x，y）在x和y中是線性的；
（2）L（x，y）不分割f（x，y）的泰勒級數(shù)中的三次項(xiàng)。
通過給出了一個(gè)尖點(diǎn)，即A型奇點(diǎn)的零維集合。對于A型奇點(diǎn)，我們需要f具有簡并二次部分（給出類型），L分割三次項(xiàng)（給出類型），另外可分解條件（給定類型） ，和最終的不可分割條件（給定類型為A4）。
為了看這些可分性條件來自哪里，假設(shè)f具有簡并二次分量L ，并且L分割三次項(xiàng)。因此，f的三階泰勒級數(shù)由給出，其中Q在x和y中是二次方。我們可以完成平方，顯示。我們現(xiàn)在可以做出變量的變形（在這種情況下，我們簡單地用線性獨(dú)立的線性部分來代替多項(xiàng)式），使得（其中P在x和y中是四分之一（四階）。 的可分性條件是x除以P。如果x不分P，那么類型完全是A。如果x劃分P，我們在完成平方和改變坐標(biāo)，使得我們有，其中P在x和y中是五次的（五階）。如果x不分割P，則我們具有精確的A類型，即零維度集是一個(gè)尖點(diǎn)。
應(yīng)用
當(dāng)在三維歐幾里得空間中投射到平面中時(shí)，自然會(huì)出現(xiàn)尖點(diǎn)。一般來說，這樣的投影曲線，其奇點(diǎn)是自交點(diǎn)和尖點(diǎn)。當(dāng)兩條曲線的不同點(diǎn)具有相同的投影時(shí)，出現(xiàn)自交點(diǎn)。當(dāng)曲線的切線平行于投影方向（即在單點(diǎn)上切線投影時(shí)），會(huì)出現(xiàn)尖點(diǎn)。當(dāng)多個(gè)現(xiàn)象同時(shí)發(fā)生時(shí)，會(huì)發(fā)生更復(fù)雜的奇點(diǎn)。例如，對于拐點(diǎn)與投影方向平行的拐點(diǎn)（和起伏點(diǎn)）出現(xiàn)尖點(diǎn)。
在許多情況下，通常在計(jì)算機(jī)視覺和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，投影的曲線是對投影的（平滑）空間物體的限制的關(guān)鍵點(diǎn)的曲線。因此，尖點(diǎn)顯示為物體（視覺）或其影子（計(jì)算機(jī)圖形）的圖像的輪廓的奇點(diǎn)。
焦散和波陣面是具有在現(xiàn)實(shí)世界中可見的尖點(diǎn)的曲線的示例。
參考資料 >