一個多元多項式，如果把其中任何兩個元互換，所得的結(jié)果都與原式相同，則稱此多項式是關(guān)于這些元的對稱多項式。如x2+y2+z2 xy+yz+zx 1*X 2*B+4都是關(guān)于元x、y、z的對稱多項式。數(shù)學(xué)中的對稱多項式（英語：Symmetric polynomial）是一種特殊的多元多項式。
例題
例1分解因式
分析 這是一個二元對稱式，二元對稱式的基本對稱式是,任何二元對稱多項式都可用,表示，如，二元對稱多項式的分解方法之一是：先將其用表示，再行分解.
解 ∵
∴原式
例2分解因式
此題中若將式中的b換成a,c換成b,a換成c，即為，，原式不變，這類多項式稱為關(guān)于a、b、c的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定系數(shù)法比較簡單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號f(x）、f(a）如對一元多項式可記作,f(a）即表示當(dāng)時多項式的值，如時多項式的值為，當(dāng)時多項式的值為.
因式定理
定義
如果時多項式f(x）的值為零，即，則f(x）能被整除（即含有之因式）.
如多項式，當(dāng)時，，即f(x）含有的因式，事實上.
證明 設(shè),
若，則
,
由于,
∴
對于多元多項式，在使用因式定理時可以確定一個主元，而將其它的元看成確定的數(shù)來處理.
運用
現(xiàn)在我們用因式定理來解例題.
解 這是一個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現(xiàn)以a為主元，設(shè)，易知當(dāng)a=b和a=c時，都有f(a)=0，故a-b和a-c是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知b-c也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設(shè)，其中k為待定系數(shù)，令,,可得.
∴
例3分解因式.
分析 這是一個關(guān)于a、b、c的四次齊次輪換多項式，可用因式定理分解，易知,,是多項式的三個因式，而四次多項式還有一個因式，由輪換對稱性可知這個一次因式應(yīng)是，故可設(shè)（其中k為待定系數(shù)），取，,,可得，所以
原式.
參考資料 >