數值微分所屬現代詞，指的是根據函數在一些離散點的函數值，推算它在某點的導數或某高階導數的近似值。
正文
根據函數在一些離散點的函數值，推算它在某點的導數或某高階導數的近似值。通常用差商代替微商，或用一能近似代替該函數的較簡單的函數（如多項式、樣條函數）的相應導數作為所求導數的近似值。例如，對帶余項的插值公式?(x)=I(x)+R(x)取k階導數就得到帶余項的數值微分公式,這里插值函數I(x)的k階導數I(k)(x)即為所求k階導數 ?(k)(x)的近似值，而插值函數余項R(x)的k階導數R(k)(x)則給出此近似值的截斷誤差。
通常利用多項式插值進行數值微分。設函數?(x)在n+1個等距點xv=α+vh（v=0,1,…,n）上的值?v=?(xv)為已知，則通過低次插值可導出一些最基本和常用的數值微分公式，例如，兩點公式 三點公式等等。此外，利用具有n+1個等距節點的約瑟夫·拉格朗日插值公式,還可導出在節點xj(i=0,1,…,n)上的較為一般的數值微分公式
這里Ai,v、Bi,v僅與 n、i、v有關，而相應的截斷誤差可分別表成式中因此，當節點的個數n+1固定時，間距h愈小，則截斷誤差也愈小。但是這時系數絕對值之和隨h的變小而劇增，所以函數值?v的舍入誤差對近似導數的影響也隨h的變小而劇增。因此，h并非愈小愈好，而是要適中，這是數值微分不同于某些插值之處。如果函數?(x)有很好的可微性，即存在絕對值不太大的較高階導數，則寧取間距稍大而個數稍多的節點。當?(x)在節點分布的整個區間上的可微性不太好時，利用樣條插值進行數值微分比利用多項式插值更適宜，只是計算量要大得多。
如果數據?v帶有不容忽視的隨機誤差，而其對應的自變量分布甚密，就應該用曲線擬合代替上述函數插值，然后用擬合曲線的導數作為函數?(x)的導數的近似值。這樣求得的導數叫做磨光的導數。
參考書目
馮康等編：《數值計算方法》，國防工業出版社，北京市，1978。
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