發(fā)展方程，數(shù)學術(shù)語，是用來描述隨時間而演變的過程的一些重要的偏微分方程(方程組)的總稱。
發(fā)展方程
發(fā)展方程（Evolution Equation），又稱演化方程或者進化方程。廣義的說，是包含時間變量t的許多重要的物理偏微分方程的統(tǒng)稱。在物理、力學或其他自然科學中用來描述隨時間變化的狀態(tài)或過程。狹義的說，它是指可以用半群方法化為一個Banach空間中的抽象常微分方程的Cauchy問題來處理的那些數(shù)學物理方程、波動方程、熱傳導方程、Schrodinger方程、流體動力學方程組、KdV方程、反應擴散方程等等以及這些方程通過適當?shù)姆绞今詈掀饋淼鸟詈戏匠探M，都屬于發(fā)展方程的范疇。
分類
發(fā)展方程包括線性發(fā)展方程和非線性發(fā)展方程。
線性發(fā)展方程
對線性發(fā)展方程，我們知道，只要初值適當光滑，其Cauchy問題的解也必然具有適當?shù)墓饣裕以谡麄€半空間上是整體存在的，作為一個最簡單的例子，對下述Cauchy問題：
易知其解為如下的右傳播：
顯然，此解在上（實際上還在整個（t,x）平面上）是整體存在的，而且和初值有同樣的正規(guī)性。?
非線性發(fā)展方程
但對于非線性發(fā)展方程就不同了，一般來說，非線性發(fā)展方程的Cauchy問題的整體經(jīng)典解通常只能在t的一個局部范圍中存在，即使對充分光滑甚至還充分小的初值也是如此；相應的，解在有限時間內(nèi)會失去正規(guī)性，而產(chǎn)生奇性（解本身或其導數(shù)趨于無窮），這一現(xiàn)象稱為解的破裂（blow up）。為了說明這一點，給出下面的例子：
先看非線性常微分方程的情形，考察如下的Riccati方程的Cauchy問題
易知其解為
于是若，就有當時，有，從而發(fā)生解的破裂，而不能在上整體存在，這時，只能在時間區(qū)間上得到Cauchy問題的局部解。
分析
上面這兩個簡單的例子表明，對非線性發(fā)展方程的Cauchy問題或混合初-邊值問題，即使初值充分光滑（甚至充分小），其經(jīng)典解的整體存在性一般是無法保證的，這是非線性發(fā)展方程區(qū)別于線性發(fā)展方程的一個重要特定。
但另一方面，在一些特殊的條件下，對非線性發(fā)展方程仍然可以得到整體經(jīng)典解。同時，對非線性發(fā)展方程而言，應該考察下面兩方面相輔相成的問題：
（1）在什么條件下，所考察的非線性發(fā)展方程的定解問題（包括Cauchy問題，各種混合初-邊值問題及自由邊界問題......）存在著唯一的整體經(jīng)典解。并在此基礎上研究解的整體性態(tài)，特別是當時的漸進性態(tài)。
（2）在什么條件下，所考察的非線性發(fā)展方程的定解問題不存在整體經(jīng)典解，而必在有限時間內(nèi)發(fā)生解的破裂現(xiàn)象。并在此基礎上能深入考察解在破裂點的性態(tài)，例如究竟是解的本身還是某一階偏導數(shù)首先發(fā)生破裂，解在破裂點的奇性特征以及破裂點集的性質(zhì)等等。?
參考資料 >