停時((stopping 時間)一類隨機時刻，指具有某種與將來無關(guān)性質(zhì)的隨機時刻。給定概率空間(Ω，F(xiàn)，P)及其濾子Ft，映射τ：Ω→T∪∞，如果對任意的t∈I，ω：ω∈Ω，τ(ω)≤t∈Ft，則稱映射τ為一個(Ft)停時。
基本介紹
停止時間是一種特殊的隨機變量，表示一個隨機的時刻。例如，設(shè)為停時，那么這意味著兩方面內(nèi)容，第一，是隨機的，第二，的取值范圍是為已知，當結(jié)果出現(xiàn)時，可表示為也就是說，該隨機變量的結(jié)果是一個特定時刻。
現(xiàn)在考慮建立在債券上的美式期權(quán)，該期權(quán)可以在當前時刻與到期日T之間的任何時刻執(zhí)行，如果期權(quán)執(zhí)行者認為時機已到，那么他將執(zhí)行期權(quán)，否則他將選擇等待直到到期。
所以，我們需要研究一個“隨機日期”，它對于期權(quán)定價非常重要，實際上，提前執(zhí)行的權(quán)力為美式期權(quán)增加了額外的價值。
我們設(shè)為期權(quán)的執(zhí)行日期，很顯然已知信息集，我們就可以知道該期權(quán)是否已經(jīng)被執(zhí)行，也就是說，已知，我們可以知道哪種情況成立：
該式表示期權(quán)已經(jīng)被執(zhí)行，或者
該式表示期權(quán)尚未被提前執(zhí)行。
的這種性質(zhì)可以用來定義停止時間。
定義1停止時間是可測的非負隨機變量，滿足
1)已知，我們可以判斷是否有
2)我們有
對于一般的衍生證券，期限都是有限的，因此期權(quán)要么在一個有限的時刻被執(zhí)行，要么過期失效，這意味著第二個等式，即以1概率有限，將恒成立。
停時的基本性質(zhì)
下面列出停時的基本性質(zhì)。
定理 設(shè)均為停時，則有
(1)是停時；
(2)是停時；
(3)如果，則；
(4)是可測的。
首次進入某個集合或者首次達到的時刻是一個停時。事實上，設(shè)E是一個度量空間，X是關(guān)于濾子 適應(yīng)的、E為狀態(tài)空間的隨機過程，對于，定義
則就是一個停時。
停時的作用
在實際操作中，我們應(yīng)該如何利用停時呢?
最明顯的一個用途是用來代表期權(quán)的執(zhí)行時間，對歐式期權(quán)而言，執(zhí)行時間不含隨機因素，期權(quán)只能在到期日被執(zhí)行，因而我們有
而對于美式期權(quán)，一般是隨機的。
考慮一份美式看漲期權(quán)，標的資產(chǎn)為，滿足以下SDE：
其中漂移項和擴散項系數(shù)滿足一般的規(guī)范性條件。
和過去一樣，衍生證券的價格可以在等價鞅測度Q下表示，但此時多了一個復(fù)雜之處，證券持有者不一定要等到T時刻才執(zhí)行期權(quán)，他可以在利潤較高時提前執(zhí)行。
也就是說，如果持有者必須等到到期日才能執(zhí)行期權(quán)，那么該期權(quán) t 時刻價值為
而如果他可以提前執(zhí)行，那么價值為
其中是所有可能停止機會的集合，是的最優(yōu)選擇，這里代表期權(quán)持有者可能執(zhí)行該看漲期權(quán)的日期。
因此在 t 時刻，我們可以計算出一系列，包含所有停止時間可能的取值，為了求出正確的價格，我們要求這些的上確界。
參考資料 >