在物理學領域，特別是量子場論中，當使用場論來計算具有明確物理含義的物理量時，經常會出現計算結果為無窮大的問題，這種情況被稱為發散困難。
物理背景
量子場論中的發散困難
在量子場論中，特別是在使用微擾理論處理某些物理過程時，通常可以通過最低次近似的計算獲得與實驗證據相符的結果。然而，在進行更為精確的理論計算，即更高階的微擾計算時，往往會得出無窮大的結果。這樣的無窮大結果顯然不具備實際的物理意義，這就構成了量子場論中的發散困難現象。
經典場論中的類比
在經典場論中，尤其是經典電動力學中，也遇到了類似的問題。例如，在經典電動力學中，每個帶電粒子都會伴隨著電磁場，而這些電磁場的能量被定義為該帶電粒子的自能。通過理論計算發現，任何一個點電荷的自能都是無窮大的。在量子電動力學（QED）中，對于電子自能的計算同樣會遭遇發散困難，并且還會涉及到電荷本身的發散問題，這是在經典理論中不存在的現象。這些問題的根源在于場具有無限多的自由度，因此是一種本質性的困難。從數學角度來看，這些發散是由在計算高階微擾矩陣元素時，動量積分的上限趨近于無窮大而導致的，也就是說，是由高能光子的貢獻引起的，因此也被稱為紫外發散。此外，量子電動力學中還存在著另一種類型的發散，即所謂的紅外發散，它源于低能光子的貢獻，其數學上的原因是動量積分的下限趨近于零。這種發散并非由場的無限自由度引起，而是因為使用的數學方法不適合處理低能光子，因此它并不是本質性的困難。
其他量子場論中的發散困難
除了量子電動力學之外，大多數其他的相對論性量子場論也都面臨著類似的發散困難。盡管目前尚未找到徹底解決發散困難的方法，但是通過引入重正化技術，可以在一定程度上規避這個問題。重正化的基本思路是將理論中出現的無窮大值合并到有限數量的物理參數（如質量、電荷等）中，并假設這些合并后的參數就是物理實驗中觀察到的實際值。為了從根本上消除發散困難，可能需要深入研究物質結構的新層面以及新的動力學原理。
解決方案
雖然目前尚無根本性的解決方案，但通過重正化技術可以暫時緩解發散困難。這種方法的核心理念是將理論中出現的無窮大值納入到有限數目的物理參數中，并假設這些參數對應的是實驗中測量到的真實值。然而，要從根本上克服發散困難，可能需要探索更深層次的物質結構和新的動力學規律。
參考資料 >
廣義層次空間與量子場論的發散困難(Ⅰ).中國知網.2024-10-23
物理學允許出現無窮大嗎?.知乎.2024-10-23
量子場論.個人圖書館.2024-10-23