最速曲線(英文：brachistochrone curve)是指不考慮摩擦的情況下，小球從一點自由滑落到下面另一點用時最短的軌道曲線。這一名稱來自于數學家約翰·白努利，由希臘語中的“最短”(brochistos）和“時間”（chronos）兩個詞合成而來。
這一概念起源于1630年伽利略·伽利萊提出的一個物理問題即：一個質點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，沿著什么曲線滑下所需時間最短。1696年，經過牛頓，萊布尼茲，約翰·伯努利，雅各布·伯努利等數學家研究，得到的結論是最速曲線是一條擺線。
“最速曲線”問題的困難在于它和以往的極大極小值求法不同，要求出一個滿足所給條件的未知函數(曲線)，而17世紀之前的物理及數學理論對此并未涉及。后來，大數學家萊昂哈德·歐拉開始關注這個問題，并從1726年起開始發表相關的論著，于1744年最先給了這類問題的普遍解法，最終創立了變分法這一新的數學分支。
研究簡史
1630年。著名物理學家、數學家伽利略·伽利萊提出了一個問題：一個質點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，沿著什么曲線滑下所需時間最短？1638年，伽利略在著作《論兩種新科學》中認為這條曲線是圓弧，后來我們知道這是錯誤的。
1696年6月，數學家約翰·白努利在《教師學報》上刊登了一個面向全歐洲學者的挑戰問題：假設在地面上不同高度有A和B兩個點，并且其中一個點不直接位于另一點的上方。連接這兩點，可作出無限多種曲線，包括直線、圓的弧線到無數種其他曲線和波浪線（如下圖1）。現在設想有一個球沿著一條曲線從A點滾向較低的B點。當然，球滾完全程所需要的時間取決于曲線的形狀。約翰·伯努利向數學界提出的挑戰是，找出一條曲線，使球沿這條曲線滾完全程所用的時間最短。
1697年3月，挑戰期限截止。約翰·白努利一共收到了5份答案，其中包括他自己的答案和他的老師萊布尼茲的答案。他的哥哥雅各布·伯努利寄來了第三份答案，洛必達寄來了第四份答案。最后寄來的答案是艾薩克·牛頓的。隨后，約翰·伯努利在雜志上公布了最速曲線的答案——最速曲線是一條擺線，也叫旋輪線。
這次挑戰中各人的解法不盡相同，雅可布的解法體現了變分的思想，且更一般化。后來，大數學家萊昂哈德·歐拉也開始研究這個問題，并從1726年起開始發表相關的論著，于1744年最先給了這類問題的普遍解法，最終創立了變分法這一新的數學分支。變分法應用廣泛，從肥皂泡到相對論，在諸如力學、電學、空氣動力學、最優化控制中都有應用。
參考資料 >
數學和物理太難？這些動圖讓你秒懂抽象概念.今日頭條.2024-04-09