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短除法（Short Division）是在分解質(zhì)因數(shù)時，在被除數(shù)的下邊，直接寫出商來，而不再一一寫出各步的積以及剩余數(shù)的除法格式。

具體來說短除法求最大約數(shù)，先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所有的商互質(zhì)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來，所得的積就是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。短除法也可用來求最小公倍數(shù)。

運用短除法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的理論基礎是分解質(zhì)因數(shù)，在求“兩最”的實際演算操作中，往往將分解質(zhì)因數(shù)和篩選共有質(zhì)因數(shù)同步推進，將兩個數(shù)放入一個短除號內(nèi)進行同步分解，因此，短除法應運而生。

19世紀美國教科書中，長除法通常以除數(shù)、被除數(shù)、商同行的括號分隔形式呈現(xiàn)。約翰·希爾（John Hill）1772年的《算術》（Arithmetick）展示了這種符號，并在小數(shù)除法中使用上劃線（vinculum）標記被除數(shù)。詹姆斯·B·湯姆森（James B. Thomson）1882年的《完整分級算術》（Complete Graded Arithmetic）中，短除法符號的下劃線幾乎與閉括號底部連接，商寫于下劃線下方。而G·A·溫特沃思（G. A. Wentworth）1888年版《代數(shù)基礎》（The Elements of Algebra）的教師版中，上劃線幾乎與閉括號頂部相接，商寫于上劃線之上。

定義

短除法是求最大公因數(shù)的一種方法，也可用來求最小公倍數(shù)。求幾個數(shù)最大公因數(shù)的方法，開始時用觀察比較的方法，即：先把每個數(shù)的因數(shù)找出來，然后再找出公因數(shù)，最后在公因數(shù)中找出最大公因數(shù)。后來，使用分解質(zhì)因數(shù)法來分別分解兩個數(shù)的因數(shù)，再進行運算。之后又演變?yōu)槎坛?。短除法運算方法是先用一個被除數(shù)除以能被它除盡的一個質(zhì)數(shù)，以此類推，除到兩個數(shù)的商是互質(zhì)數(shù)為止。

簡史

除號（÷）作為除法符號首次由約翰·拉恩（Johann Rahn，1622-1676）在1659年的《德意志代數(shù)》（Teutsche Algebra）中使用。拉恩的著作于1668年由約翰·佩爾（John Pell）翻譯并增補后在倫敦出版，保留了該符號。盡管有觀點認為佩爾可能是符號發(fā)明者，但無直接證據(jù)支持這一主張。19世紀美國教科書中，長除法通常以除數(shù)、被除數(shù)、商同行的括號分隔形式呈現(xiàn)。約翰·希爾（John Hill）1772年的《算術》（Arithmetick）展示了這種符號，并在小數(shù)除法中使用上劃線（vinculum）標記被除數(shù)。

詹姆斯·B·湯姆森（James B. Thomson）1882年的《完整分級算術》（Complete Graded Arithmetic）中，短除法符號的下劃線幾乎與閉括號底部連接，商寫于下劃線下方。而G·A·溫特沃思（G. A. Wentworth）1888年版《代數(shù)基礎》（The Elements of Algebra）的教師版中，上劃線幾乎與閉括號頂部相接，商寫于上劃線之上。丹尼爾·W·菲什（Daniel W. Fish）1901年的《魯賓遜完整算術》第二版延續(xù)了湯姆森的符號體系，但下劃線實際與閉括號相連。大衛(wèi)·尤金·史密斯（David E. Smith）指出：“長除法符號的現(xiàn)行排列方式無法確定確切起源時間，因其演變過程具有漸進性?！?/p>

優(yōu)點特性

短除法的格式簡潔直觀，充分體現(xiàn)了求“兩最”的流程、算理、技巧，算式美觀整齊，易學易懂易操作。實踐證明，學生在求“兩最”時，樂于使用短除法。比如：在“求最大公因數(shù)”的綜合應用題中，計算、約分等步驟，一般都是處理兩個數(shù)。按照短除法的原理，先預判兩數(shù)是否為2、3、5的倍數(shù)，然后直接用兩個數(shù)的共有質(zhì)因數(shù)進行整除，一步步化為最簡分數(shù)。再如解答“最小公倍數(shù)”應用題時，在計算、分母通分時，用短除法更容易找出兩個分數(shù)的最小公分母，步驟簡練，計算的效率和準確性也有了保障。

靈活性

短除法在求取最大公因數(shù)時具有一定的靈活性。在使用短除法時，每一步提取的公因數(shù)不一定非要是質(zhì)數(shù)，它也可以是合數(shù)。關鍵在于，這個被提取的公因數(shù)必須是待測數(shù)的公因數(shù)，其大小沒有限制。如果能夠一步到位地找準兩數(shù)的最大公因數(shù)，那當然是最理想的。如果不能，就需要一步步地檢索完兩個數(shù)的所有公因數(shù)，盡可能用最少的步驟快速找完所有并列的公因數(shù)。

值得注意的是，與列舉法不同，短除法在每一步找出的公因數(shù)（即使是合數(shù)）都是互斥的，互不交叉包含。例如，當對72和48進行短除時，第一次短除提取的公因數(shù)是4，第二次短除提取的公因數(shù)是6。這兩個公因數(shù)是獨立互斥的，各自包含一個質(zhì)因數(shù)2。如圖1，72和48的最大公因數(shù)就是這兩個公因數(shù)的積，即4×6=24。由此可見，短除法每次提取的公因數(shù)可以是合數(shù)，大小不限。但是，這個過程需要一直進行到剩余因數(shù)互質(zhì)為止。例如，在上述例子中，剩余的因數(shù)為3和2，它們互為質(zhì)數(shù)，這說明短除已經(jīng)觸底，無法再繼續(xù)進行。

另外，在求多個（三個及以上）數(shù)的最大公因數(shù)時，方法相似，可以將三個數(shù)一并短除。但是，在求多個數(shù)的最小公倍數(shù)時，則不能一并短除，而要采取兩兩短除的方式。具體步驟是先求出兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，再用這個最小公倍數(shù)與第三個數(shù)進行短除，從而求出三個數(shù)的最小公倍數(shù)。如圖2、3、4。

理論基礎

運用短除法求算“兩最”（最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)）的理論基礎是分解質(zhì)因數(shù)。具體步驟如下：首先，對兩個數(shù)分別進行質(zhì)因數(shù)分解。例如，對于18和30：18可以分解為2×3×3；30可以分解為2×3×5。接下來，提取兩個數(shù)的共有質(zhì)因數(shù)以及各自的獨有質(zhì)因數(shù)。在這個例子中，共有質(zhì)因數(shù)是2和3，而獨有質(zhì)因數(shù)分別是18獨有的一個3，以及30獨有的一個5。然后，將各個共有質(zhì)因數(shù)相乘，求出最大公因數(shù)。對于18和30，最大公因數(shù)是2×3=6。最后，將全體共有質(zhì)因數(shù)與各自獨有質(zhì)因數(shù)相乘，求出最小公倍數(shù)。對于18和30，最小公倍數(shù)是2×3×3×5=90。

應用

分解質(zhì)因數(shù)的通用方法是短除法，可以通過短除法的圖示來輔助理解這一過程，如下：

（a）圖展示了單獨對18進行質(zhì)因數(shù)分解的過程；（b）圖展示了單獨對30進行質(zhì)因數(shù)分解的過程；（c）圖展示了將18和30放入一個短除號內(nèi)進行同步分解的過程，這也是在實際求“兩最”時常用的方法。分解質(zhì)因數(shù)的理論基礎是算術基本定理（也稱為唯一分解定理），它表明任意一個大于1的自然數(shù)，都能分解成若干個質(zhì)數(shù)的積，并且這樣的分解式是唯一的，即任何一個數(shù)的質(zhì)因數(shù)的大小與數(shù)量是固定的，因此，兩個數(shù)的共有質(zhì)因數(shù)的大小以及數(shù)量也是固定的，剩下的獨有因數(shù)也是不變的。另一方面，由于每個數(shù)都是通過一步步做除法求出質(zhì)因數(shù)，各個質(zhì)因數(shù)之間是相乘的關系，這也證實了利用“乘積”求出“兩最”（最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)）的合理性。求“兩最”的短除法與分解單個數(shù)的質(zhì)因數(shù)方法相似，唯一不同的是，在求“兩最”時需要利用以下定律：兩個數(shù)的所有共有質(zhì)因數(shù)是它們最大公因數(shù)的因數(shù)，兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是它們所有共有質(zhì)因數(shù)和獨有因數(shù)的乘積。

計算最大公因數(shù)

首先，把18和30分別分解質(zhì)因數(shù)：18=2×3×3，30=2×3×5接著，求它們的最大公因數(shù)：由分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果可以直接判斷，18和30的共有質(zhì)因數(shù)為一個2和一個3。于是，全體共有質(zhì)因數(shù)的乘積為2×3=6。毫無疑問，這個乘積是18和30的公因數(shù)，且由于這個乘積是將所有共有質(zhì)因數(shù)求積得出的，它必然是公因數(shù)中最大的那個。因此，兩數(shù)的最大公因數(shù)必然是兩數(shù)所有共有質(zhì)因數(shù)的乘積。

計算兩數(shù)最小公倍數(shù)

計算兩數(shù)最小公倍數(shù)的原理剖析：兩數(shù)的所有公倍數(shù)，一定是這兩個數(shù)的倍數(shù)。例如，18和30的所有公倍數(shù)，既是18的倍數(shù)也是30的倍數(shù)。根據(jù)倍數(shù)的傳遞性，這些公倍數(shù)也一定是這兩個數(shù)所有因數(shù)（包括非質(zhì)因數(shù)）的倍數(shù)。這意味著，要找到一個數(shù)，它既是18的所有因數(shù)的倍數(shù)，也是30的所有因數(shù)的倍數(shù)。

為了得到最小公倍數(shù)，需要確保這個數(shù)包含的質(zhì)因數(shù)盡可能少。具體來說，對于兩個數(shù)的共有質(zhì)因數(shù)，只在計算中包括一次，不重復計算。以18和30為例，它們的共有質(zhì)因數(shù)是2和3（注意，這里的3只計算一次），而18獨有的質(zhì)因數(shù)是另一個3（因為18=2×3×3），30獨有的質(zhì)因數(shù)是5（因為30=2×3×5）。因此，18和30的最小公倍數(shù)就是這些質(zhì)因數(shù)的乘積，即2×3×3×5=90。簡而言之，兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，就是這兩個數(shù)所有共有質(zhì)因數(shù)與各自獨有質(zhì)因數(shù)的總乘積。

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定義

簡史

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