邏輯代數(shù)，也叫做開關(guān)代數(shù)起源于英國數(shù)學(xué)家喬治·布爾(GeorgeBoole)于1849年創(chuàng)立的布爾代數(shù)，是數(shù)字電路設(shè)計理論中的數(shù)字邏輯科目的重要組成部分。邏輯代數(shù)，亦稱布爾代數(shù)，是英國數(shù)學(xué)家喬治布爾（George Boole）于1849年創(chuàng)立的。邏輯代數(shù)是按一定的邏輯關(guān)系進行運算的代數(shù)，是分析和設(shè)計數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。由于屬于 a類又屬于 b類的個體組成的類叫做a與b的邏輯積（交類），記作a∩b，簡記作ab。邏輯代數(shù)與命題代數(shù)有所不同。
基本內(nèi)容
邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計邏輯電路的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。邏輯代數(shù)是由英國科學(xué)家喬治·布爾(George·Boole)創(chuàng)立的，故又稱布爾代數(shù)。
當(dāng)邏輯代數(shù)的邏輯狀態(tài)多于2種時（如0、1、2或更多狀態(tài)時），其通用模型的基本邏輯有2個。
一個是從一種狀態(tài)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)的邏輯，是一個一元邏輯；
另外一種是兩種狀態(tài)中按照某種規(guī)則（比如比較大小）有傾向性的選擇出其中一種狀態(tài)的邏輯，這是一個二元邏輯。
依據(jù)這兩種邏輯，可以表達任意多狀態(tài)的任意邏輯關(guān)系，即最小表達式。
即任意多狀態(tài)的邏輯是完備的。
當(dāng)邏輯狀態(tài)數(shù)擴展有理數(shù)量級甚至更多。任意數(shù)學(xué)運算都可以用兩個運算關(guān)系來聯(lián)合表達：加減法和比較大小。邏輯代數(shù)，亦稱布爾代數(shù)，是英國數(shù)學(xué)家喬治 布爾（George Boole）于1849年創(chuàng)立的。在當(dāng)時，這種代數(shù)純粹是一種數(shù)學(xué)游戲，自然沒有物理意義，也沒有現(xiàn)實意義。在其誕生100多年后才發(fā)現(xiàn)其應(yīng)用和價值。
邏輯代數(shù)是按一定的邏輯關(guān)系進行運算的代數(shù)，是分析和設(shè)計數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。在邏輯代數(shù)，只有0和1兩種邏輯值，有與、或、非三種基本邏輯運算，還有與或、與非、與或非、異或幾種導(dǎo)出邏輯運算。
邏輯是指事物的因果關(guān)系，或者說條件和結(jié)果的關(guān)系，這些因果關(guān)系可以用邏輯運算來表示，也就是用邏輯代數(shù)來描述。事物往往存在兩種對立的狀態(tài)，在邏輯代數(shù)中可以抽象地表示為 0 和 1 ，稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。
邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0 和 1 稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)。
其規(guī)定：
1．所有可能出現(xiàn)的數(shù)只有0和1兩個。
2．基本運算只有“與”、“或”、“非”三種。
與運算（邏輯與、邏輯乘）定義為：
或運算（邏輯或、邏輯加）定義為：
至此布爾代數(shù)宣告誕生。
二、基本公式
如果用字母來代替數(shù)（字母的取值非0即1），根據(jù)布爾定義的三種基本運算，我們馬上可推出下列基本公式：
上述公式的證明可用窮舉法。如果對字母變量所有可能的取值，等式兩邊始終相等，該公式即告成立。
乘法加法原理
與邏輯和乘法
乘法原理中自變量是因變量成立的必要條件，與邏輯的定義正好和乘法原理的描述一致，所以與邏輯和乘法對應(yīng)。
或邏輯和加法
加法原理中自變量是因變量成立的充分條件，或邏輯的定義正好和加法原理的描述一致，所以或邏輯和加法對應(yīng)。
乘法就是廣義的與邏輯運算，加法就是廣義的或邏輯運算。邏輯運算可以看作是乘法的特例。邏輯推算推算可以看作是加法的特例。
總之，乘法原理、加法原理可以看作是一種邏輯和或邏輯的定量表述；與邏輯和或邏輯可以看作是乘法原理、加法原理的定性表述。
基本規(guī)則
代入規(guī)則
任何一個含有變量 X 的等式，如果將所有出現(xiàn) X 的位置，都代之以一個邏輯函數(shù) F，此等式仍然成立。
對偶規(guī)則
設(shè) F 是一個邏輯函數(shù)式，如果將 F 中的所有的 * 變成 +，+ 變成 *，0 變成 1，1 變成 0，而變量保持不變。那么就得到了一個邏輯函數(shù)式 F'，這個 F' 就稱為 F 的對偶式。如果用兩個函數(shù) 和 G 相等，則是它們各自的對偶式F' 和 G' 也相等。
反演規(guī)則
當(dāng)已知一個邏輯函數(shù)F，要求 ?F 時，只要把 F 中的所有 * 變成 +，+ 變成 *，0 變成 1，1 變成 0，原變量變成反變量，反變量變成原變量，即得 ?F。運用反演規(guī)則時必須注意一下兩個原則：（1）保持原來的運算優(yōu)先級，即先進行與運算，后進行或運算。并注意優(yōu)先考慮括號內(nèi)的運算。（2）對于反變量以外的非號應(yīng)保留不變。。
邏輯函數(shù)
標準形式
邏輯變量的邏輯與運算叫做與項，與項的邏輯或運算構(gòu)成了邏輯函數(shù)的與或式，也叫做積之和式（SP form）。
邏輯變量的邏輯或運算叫做或項，或項的邏輯與運算構(gòu)成了邏輯函數(shù)的或與式，也叫做和之積式(PS form)。
最小項
在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項。
性質(zhì)：
①在輸入變量的任何一取值下必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1。
②任意兩個最小項的乘積為0。
③全體最小項之和為1。
④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并為一項并消去一個因子。
⑤n個變量的最小項數(shù)目為2n
最大項
在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個變量的和，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項。
性質(zhì)：
①在輸入變量的任何取值下，必有一個，而且只有一個最大項的值是0。
②任意兩個最大項之和為1。
③全體最大項之積為0。
④只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和。
⑤ n個變量的最大項數(shù)目為2n。
化簡
運用邏輯代數(shù)的基本公式及規(guī)則可以對邏輯函數(shù)進行變換，從而得到表達式的最簡形式。這里所謂的最簡形式是指最簡與或式或者是最簡或與式，它們的判別標準有兩條：⑴項數(shù)最少；⑵在項數(shù)最少的條件下，項內(nèi)的文字最少。
卡諾圖是遵循一定規(guī)律構(gòu)成的。由于這些規(guī)律，使邏輯代數(shù)的許多特性在圖形上得到形象而直觀的體現(xiàn)，從而使它成為公式證明、函數(shù)化簡的有力工具。
類代數(shù)類代數(shù)是類邏輯的代數(shù)化。所謂類邏輯是從外延上理解的一階一元謂詞的邏輯。一元謂詞的外延指稱該謂詞所適用的個體的類。由論域中所有個體組成的類叫全類，記作 1。不含有任何事物的類叫空類，記作0。考慮全類的所有子類，即包含于其中的類（包括1和0），令…為這樣的類變元。由論域中不屬于a類的個體組成的類叫做a的補，記作a'。由或?qū)儆赼類或?qū)儆赽類的個體組成的類叫做a與b的邏輯和（并類），記作。由既屬于 a類又屬于 b類的個體組成的類叫做a與b的邏輯積（交類），記作，簡記作。如果a類與b類所含的個體相同，則稱a與b等同，記作。a與b不等同記作。1和0是兩個特定的類常元。'，∪和∩是三種邏輯運算，分別叫類的取補、求和（加法）和求積（乘法）。此外，還可以通過定義引入包含于關(guān)系吇，例如把a吇b定義為。于是自然有：對于任何類a,0吇a吇1。
在類代數(shù)中，不帶有主詞存在斷定的直言命題和，可表示為和。傳統(tǒng)邏輯中三段論第1格 AAA式可表示為：
如果且，則。第3格EIO式可表示為：
如果且，則。類代數(shù)的運算滿足下表中列出的基本定律。
類代數(shù)的基本定律
冪等律
吸收律
么元律
補余律
從這些定律出發(fā)，特別是只需以其中的交換律、分配律、前兩個么元律和補余律作為初始定律即公理，就可以推導(dǎo)出類邏輯的所有定律（定理）。類邏輯的內(nèi)容比傳統(tǒng)的三段論理論要豐富得多，大致相當(dāng)于只包含一元謂詞的一階謂詞邏輯（見謂詞邏輯）。一般的謂詞邏輯也可以用更進一步的代數(shù)方法處理，但已超出通常所謂的邏輯代數(shù)的范圍。
命題代數(shù)命題代數(shù)在結(jié)構(gòu)上與類代數(shù)完全相同。只要對類代數(shù)中的符號另作命題邏輯的解釋，或者干脆改為相應(yīng)的命題邏輯符號，就得到命題代數(shù)。即把類變元改為命題變元；改為否定詞填（“并非”）；∪改為析取詞∨（“或者”）；∩改為合取詞∧（“并且”）。1和0分別解釋為特定的邏輯上真的命題和邏輯上假的命題，或稱有效命題和矛盾命題；=表示兩命題邏輯上等值。這時，填、∨和∧作為命題運算正好滿足形式上與類代數(shù)的基本定律相對應(yīng)的定律，而整個命題代數(shù)可包括命題邏輯的全部內(nèi)容。命題代數(shù)和類代數(shù)可以有各種形式的公理系統(tǒng)，尤其是都可以有關(guān)于布爾展開式的定理，它相當(dāng)于命題邏輯中的優(yōu)析取范式和優(yōu)合取范式的定理。
邏輯代數(shù)與命題代數(shù)有所不同。它還可以把1和0分別解釋為命題的真和假，令變元只取1和0為值，即令其為二值的真值變元，并把填、∨和∧解釋為真值運算，從而得到一種提供命題真值運算定律的真值代數(shù)。而且，在二值的真值代數(shù)中特別可以有定理“或，但在一般的命題代數(shù)和類代數(shù)中卻沒有與此相應(yīng)的定理。
參考資料 >