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設(shè)σ是向量空間V上的兩線性形式，如果σ(x，y)=σ(y，x)，x，y∈V，則稱σ為對(duì)稱雙線性形式。
定義
給出向量空間V上的兩線性形式 如果
則 稱為 對(duì)稱雙線性形式。
定義了對(duì)稱雙線性形式的向量空間 稱為 內(nèi)積空間。稱為 中向量 和 的內(nèi)積。
設(shè) 是內(nèi)積空間 如果 則我們稱：向量 和 是正交的，記成 設(shè) 是 的一個(gè)子空間，
稱為M在V 中的正交補(bǔ)。
給出V的一組基 雙線性形式 的矩陣表示是 如果 是對(duì)稱的，則 是對(duì)稱矩陣，即。
設(shè)
所以
主要性質(zhì)
命題1 。
命題2 是內(nèi)積空間，的秩。
命題3 是非退化的，當(dāng)且僅當(dāng)。
命題4 。
引理5 。
定理6 。
定理7 是內(nèi)積空間，是非退化的，V中的映射 誘導(dǎo)一一映射：它具有以下性質(zhì):
(1) ；
(2)
(3)
(4)
(5) 。
如果M是內(nèi)積空間 的子空間，是 在M上的限制：當(dāng) 如果 的秩 則M稱為退化子空間。
引理8M是非退化子空間的充要條件是： 。
推論設(shè) 是非退化雙線性形式，則：是非退化子空間 也是非退化子空間。
定理9 是內(nèi)積空間，是非退化子空間，則。
參考資料 >