婆羅摩笈多定理是婆羅摩多提出的數學定理，別名布拉美古塔定理。外文名Brahmagupta theorem。提出時間公元628年。若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。推廣過圓內接四邊形兩對角線交點作任一邊的垂線，必過以其對邊為一邊，以交點為頂點的三角形的外心。
定理定義
若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。這個定理有另一個名稱，叫做"布拉美古塔定理"（又譯"卜拉美古塔定理"）。
驗證推導
方法一
如圖，運用向量證明。
∵B、F、A共線，由共線向量基本定理可知，存在唯一實數k，使 EF=(1-k) EB+k EA。其中 BF=k BA
又EF⊥CD
∴ EF· CD=[(1-k) EB+k EA]·( CE+ ED)=0
展開得(1-k) EB· CE+k EA· CE+(1-k) EB· ED+k EA· ED=0
∵EB⊥CE、EA⊥ED，即 EB· CE=0， EA· ED=0
∴k EA· CE+(1-k) EB· ED=0
即k| EA|| CE|cos0+(1-k)| EB|| ED|cosπ=0
kEA*EC=(1-k)EB*ED
∴k=1-k，k=1/2
∴ BF=1/2* BA，即F是BA中點
方法二
如圖，運用數學證明。
∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
∵∠AMD=90°，同時∠MAD+∠MDA=90°
∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF，即F是AD中點
定理推廣
若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則一邊中點與對角線交點的連線垂直于對邊。
如上圖，圓內接四邊形ABCD中，AC⊥BD，M是垂足。F是AD中點，則FM⊥BC。
過圓內接四邊形兩對角線交點做另一邊的垂線，必過其對邊為一邊，以交點為一頂點的三角形的外心。
證明
方法一
∵MA⊥MD，F是AD中點
∴AF=MF
∴∠CAD=∠AMF
∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME
∴∠CBD=∠CME
∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°
∴∠CBD+∠BME=90°
∴EF⊥BC
方法二
∵F是BA中點
∴ EF=1/2*( EA+ EB)
CD= CE+ ED
EF· CD=1/2*( EA+ EB)·( CE+ ED)
EF· CD=1/2*( EA· CE+ EA· ED+ EB· CE+ EB· ED)
EF· CD=1/2*(EA*ecEB*ED)=0
∴EF⊥CD
定理說明
1.此定理是很冷門的（被考即是因為冷門），最好題前引例證明
2.向量法證明是很方便的方法，特別是另一版本的證明，自己想出來的，比我看的任何證明過程都簡單很多
3.想要抓住聯賽的幾何題，類似的冷門定理要多掌握
參考資料 >