在數學中，拉普拉斯展開（或稱拉普拉斯公式）是一個關于行列式的展開式。將一個n×n矩陣B的行列式進行拉普拉斯展開，即是將其表示成關于矩陣B的某一行（或某一列）的n個元素的余子式的和。
簡介
行列式的拉普拉斯展開一般被簡稱為行列式按某一行（或按某一列）的展開。由于矩陣有n行n列，它的拉普拉斯展開一共有2種。拉普拉斯展開的推廣稱為拉普拉斯定理，是將一行的元素推廣為關于行的一切子式。它們的每一項和對應的代數余子式的乘積之和仍然是的行列式。研究一些特定的展開可以減少對于矩陣之行列式的計算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推導中。
公式
設是一個矩陣。B關于第i行第j列的余子式是指B中去掉第i行第j列后得到的階子矩陣的行列式。有時可以簡稱為B的?余子式。B的?代數余子式：是指B的?余子式與(-1)的乘積：
拉普拉斯展開最初由范德蒙德給出，為如下公式：對于任意：
考慮以下的矩陣：
這個矩陣的行列式可以用沿著第一行的拉普拉斯展開式來計算：
也可以用沿著第二列的拉普拉斯展開式來計算：
很容易看到這個結果是正確的：這個矩陣是奇異的，因為它的第一列和第三列的和與第二列成比例，因此它的行列式是零。
證明
設B是一個?的矩陣，?。為了明確起見，將?的系數記為，其中。
考慮B的行列式|B|中的每個含有?的項，它的形式為：
其中的置換使得，而是唯一的將除了i以外的其他元素都映射到與τ相同的像上去的置換。顯然，每個τ都對應著唯一的σ，每一個σ也對應著唯一的τ。因此我們創建了與之間的一個雙射。置換τ可以經過如下方式從σ得到：
定義使得對于并且，于是。然后
由于兩個輪換分別可以被寫成?和?個對換，因此
因此映射是雙射。由此：
從而拉普拉斯展開成立。
有關定理
拉普拉斯定理
皮埃爾-西蒙·拉普拉斯在1772年的論文中給出了行列式展開的一般形式，稱為拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基礎上，說明了如果將B關于某k行的每一個子式和對應的代數余子式的乘積加起來，那么得到的仍然是B的行列式。定理的證明與按一行（一列）展開的情況一樣，都是通過建立置換間的雙射來證明兩者相等。
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