零一律是概率論中的一條定理，由安德雷·柯爾莫哥洛夫發(fā)現(xiàn)，因此也稱為柯爾莫哥洛夫零一律。該定理指出，尾事件發(fā)生的概率只能是一（幾乎肯定發(fā)生）或零（幾乎肯定不發(fā)生）。
簡介
零一律是概率論中的一個重要定律，由安德雷·柯爾莫哥洛夫提出，故又稱柯爾莫哥洛夫零一律。該定律表明，某些事件的發(fā)生概率要么是幾乎一（肯定發(fā)生），要么是幾乎零（肯定不發(fā)生），這類事件被稱為“尾事件”。尾事件是由無限多的隨機變量的序列來定義的，例如，如果我們連續(xù)扔無限多次硬幣，則連續(xù)100次數(shù)字面向上的事件出現(xiàn)無限多次是一個尾事件。無限猴子定理是零一律的一個應(yīng)用例子。
尾事件以隨機變量的無窮序列定義，不要求這些隨機變量具有相同的分布。如果我們有一個由獨立隨機變量{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots}組成的序列，記{\displaystyle {\mathcal {F}}}為這些隨機變量生成的σ-代數(shù)，那么一個尾事件{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}就是與任意有限多個這些隨機變量都獨立的事件。直觀地說，如果可以無視前任意多個隨機變量的值，而仍能判斷某事件是否發(fā)生，則該事件為尾事件。
定理敘述
安德雷·柯爾莫哥洛夫零一律的一般論述適用于獨立的σ-代數(shù)序列。在一個概率空間中，設(shè)有一列相互獨立的σ-代數(shù){\displaystyle F_{n}}，構(gòu)成σ-代數(shù)序列。定義{\displaystyle G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}}為包含{\displaystyle F_{n}, F_{n+1}, \dots}的最小的σ-代數(shù)。根據(jù)零一律，對于任意屬于所有{\displaystyle G_{n}}的交集的事件{\displaystyle F}，其發(fā)生的概率{\displaystyle P(F)}必為0或1。將{\displaystyle F_{n}}取為由隨機變量{\displaystyle X_{n}}生成的σ-代數(shù)，我們可以得到隨機變量序列的相關(guān)敘述。在這種情況下，尾事件被定義為既在所有{\displaystyle X_{n}}生成的σ-代數(shù)中可測，也與任意有限多個{\displaystyle X_{n}}都獨立的事件。換句話說，尾事件是屬于{\displaystyle \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}}的事件。
例如，隨機變量序列{\displaystyle (X_{i})}的收斂性是一個尾事件，同樣，級數(shù){\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }X_{k}}的收斂性也是一個尾事件。然而，級數(shù)收斂且其和大于1的事件并不是尾事件，因為它與第一個隨機變量{\displaystyle X_{1}}的值相關(guān)。在實際應(yīng)用中，雖然零一律可以輕易證明某事件的概率必為0或1，但確定這個概率是0還是1往往是困難的。
安德雷·柯爾莫哥洛夫零一律更一般的論述是對獨立的 σ-代數(shù)流而言的。令是一個概率空間 和Fn 是包含于 F一列相互獨立的 σ-代數(shù)。 令是包含的最小的-代數(shù)，那么柯爾莫哥洛夫零一律推出對任意的事件，一定有或1。
參考資料 >