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矩陣對數是矩陣指數的逆運算，在數學中，它涉及找到一個矩陣，使得其矩陣指數等于給定矩陣。矩陣對數不是對所有矩陣都存在，且一個矩陣可能有多個矩陣對數。矩陣對數的研究與李群緊密相關，因為如果一個矩陣存在矩陣對數，那么這個矩陣對數是對應李代數向量空間的元素。
定義
對于任意一個階非奇異矩陣，總存在一個矩陣（稱為的矩陣對數），滿足，其中是矩陣指數。通常情況下，矩陣對數總是不唯一的。實矩陣的矩陣對數很可能是一個復矩陣。在MATLAB中由函數logm實現。
性質
1.設為正定矩陣，則
其中為矩陣的跡。
2.如果為可交換矩陣，則
令得到
存在性
對于一個復矩陣，該矩陣存在矩陣對數當且僅當它是可逆的。如果一個矩陣沒有負實特征值，那么它的矩陣對數不是唯一的。對于一個實矩陣，該矩陣存在實矩陣對數當且僅當它是可逆的并且負特征值對應的每個若爾當塊出現偶數次。如果可逆實矩陣不滿足若爾當塊的條件，那么它只有非實對數。
示例
對于單位矩陣，其矩陣對數為零矩陣。
對于實矩陣，其矩陣對數為，其中為任意整數。
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