畫法幾何（descriptive geometry）是研究在平面上用圖形表示形體和解決空間幾何問題的理論和方法的學(xué)科，也是機(jī)械制圖的投影理論基礎(chǔ)。
在畫法幾何的學(xué)科應(yīng)用中，有幾種方法，分別是投影法、多面正投影圖、投影變換、截交線和相貫線、展開圖。
簡介
畫法幾何是機(jī)械制圖的投影理論基礎(chǔ)，它應(yīng)用投影的方法研究多面正投影圖、軸測圖、透視圖和標(biāo)高投影圖的繪制原理，其中多面正投影圖是主要研究內(nèi)容。畫法幾何的內(nèi)容還包含投影變換、截交線、相貫線和展開圖等。
在工程和科學(xué)技術(shù)方面，經(jīng)常需要在平面上表現(xiàn)空間的形體。例如，我們需要在紙上畫出房屋或建筑物的圖樣，以便根據(jù)這些圖樣施工建造。但是平面是二維的，而空間形體是三維的，為了使三維形體能在二維的平面上得到正確的顯示，就必須規(guī)定和采用一些方法，這些方法就是畫法幾何所要研究的。
工程實踐中不僅要在平面上表示空間形體，而且還需要應(yīng)用這些表達(dá)在平面上的圖形來解決空間的幾何問題。例如，我們往往需要根據(jù)由測量結(jié)果而繪制的地形圖來設(shè)計道路或運河的線路，決定什么地方需要開挖和填筑，以及計算土方等。這些根據(jù)形體在平面上的圖形來圖解空間幾何問題，也是畫法幾何所要研究的。
綜上，畫法幾何研究的內(nèi)容即：
1、研究在二維平面上表達(dá)三位空間形體的方法，也就是圖示法。
2、研究在平面上利用圖形來解決空間幾何問題的方法，也就是圖解法。
簡史
1103年，中國宋代李誡所著《營造法式》中的建筑圖基本上符合幾何規(guī)則，但在當(dāng)時尚未形成畫法的理論。
1763年，里昂學(xué)院年輕的物理學(xué)教授加斯帕爾·蒙日，在一次探親回家的途中，遇見一位搞工程的官員，對方曾看見蒙日16歲時完全憑自己的能力畫的一幅有名的地圖，他建議蒙日到梅濟(jì)耶爾的軍事學(xué)校去。蒙日沒有仔細(xì)考慮就答應(yīng)了。到梅濟(jì)耶爾之后，他很快就知道自己永遠(yuǎn)得不到軍官委任狀，因為他出身低微。他只能做實際工作，天天跟蹤測量并和制圖打交道。不過，他覺得很快活，因為這種工作使他有大量時間研究數(shù)學(xué)。學(xué)校常規(guī)課程中很重要的一部分筑城術(shù)，其中的關(guān)鍵是把防御工事設(shè)計得十分隱蔽，沒有任何部分暴露在敵方的直接火力之下，而這往往需要沒完沒了的的算術(shù)運算。有時為了解決問題，只好把已經(jīng)建成的工事拆毀，再從頭開始。精通幾何的加斯帕爾·蒙日在思考如何簡化這項軍事工程的過程中發(fā)明了畫法幾何。按照他的方法，空間的立體或其他圖形就可以由兩個投影描畫在同一個平面上。這樣，有關(guān)工事的復(fù)雜計算就被作圖方法所取代。經(jīng)過短期訓(xùn)練，任何制圖員都能勝任這種工作。蒙日把他的發(fā)明呈交給一位高級官員。那人不相信一個繁難的工事問題能夠得到解答，于是就審查。蒙日繼續(xù)堅持，說他沒有用算術(shù)。官員只好讓步。審查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，他的解答是正確的。蒙日立刻得到一個小小的教學(xué)職位，任務(wù)是把這個新方法教給未來的軍事工程師們。他被要求宣誓不泄露他的方法，畫法幾何因此作為一個軍事秘密被小心翼翼地保守了15年之久，到1794年加斯帕爾·蒙日才得到允許在巴黎師范學(xué)院將之公諸于世。沒有蒙日最初為軍事工程作的發(fā)明，19世紀(jì)機(jī)器的大規(guī)模出現(xiàn)也許是不可能的。畫法幾何是使機(jī)械工程成為現(xiàn)實的全部機(jī)械制和圖解方法的根源。
1799年法國學(xué)者G.蒙日發(fā)表《畫法幾何》一書，提出用多面正投影圖表達(dá)空間形體，為畫法幾何奠定了理論基礎(chǔ)。以后各國學(xué)者又在投影變換、軸測圖以及其他方面不斷提出新的理論和方法，使這門學(xué)科日趨完善。
機(jī)械制圖
是研究機(jī)械圖樣繪制理論和方法的學(xué)科。圖樣由圖形、符號、文字和數(shù)字組成，它確切表示了機(jī)械的結(jié)構(gòu)形狀、尺寸大小、工作原理和技術(shù)要求，是機(jī)械設(shè)計過程中的重要技術(shù)資料，是人們在生產(chǎn)活動中表達(dá)和交流思想的重要工具，常被稱為工程界的語言。機(jī)械制圖的理論基礎(chǔ)是畫法幾何的投影理論，其主要部分是應(yīng)用正投影理論來研究機(jī)器零件、部件的表示方法。
機(jī)械制圖的主要內(nèi)容包括制圖一般規(guī)定、視圖的種類、配置和畫法、尺寸標(biāo)準(zhǔn)及編寫技術(shù)要求等部分，并且都有相應(yīng)的國家標(biāo)準(zhǔn)。
機(jī)械制圖的一般規(guī)定包括圖紙幅面及格式、圖樣比例、字體和圖線等。圖紙的基本幅面有6種 (0～5號)，并可按規(guī)定加長或加寬，圖框及標(biāo)題欄都有嚴(yán)格規(guī)定的格式。比例是指圖形與機(jī)件實際尺寸之比，通常采用 1：1，但也可按規(guī)定的比例放大或縮小。中文字體手書時要求用長仿宋體。線型有粗實線、細(xì)實線、細(xì)點劃線等8種，分別用于不同的情況。例如粗實線表示可見輪廓線或可見過渡線，細(xì)點劃線可以表示軸線或?qū)ΨQ中心線等。
視圖通常是按正投影法繪制，我國制圖標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定采用第一角畫法，即機(jī)件位于觀察者和投影面之間，有主視圖、俯視圖和左側(cè)視圖等。英、美等國多采用第三角畫法，即投影面位于機(jī)件和觀察者之間 (如圖2)，有主視圖、俯視圖和右側(cè)視圖。為了完整地表達(dá)機(jī)件，還有剖視圖、剖面、斜視圖及局部視圖等。機(jī)械制圖標(biāo)準(zhǔn)還規(guī)定了螺紋、彈簧、花鍵、齒輪等零件或結(jié)構(gòu)的專門畫法。在裝配圖中還允許對某些標(biāo)準(zhǔn)件，例如滾動軸承，采用簡化畫法，以提高制圖效率。圖樣的種類有零件圖、裝配圖、布置圖、示意圖和軸測圖等。軸測圖是一種立體圖，直觀性強，是常用的輔助用圖。
圖樣是按一定比例繪制的，在機(jī)械加工中須嚴(yán)格按尺寸加工，不允許從圖樣中量取，機(jī)件的尺寸用尺寸線、尺寸界線和態(tài)射指明所標(biāo)注的范圍，用數(shù)字表示尺寸的大小。對直徑、半徑、錐度、斜度和角度還應(yīng)在數(shù)字前加注專用符號，例如用φ表示直徑。圖樣中的技術(shù)要求包括公差配合、形位公差、表面粗糙度、材料及熱處理等。
圖樣的繪制和復(fù)制技術(shù)在近代得到了飛速的發(fā)展。20世紀(jì)60年代出現(xiàn)了計算機(jī)繪圖技術(shù)，與計算機(jī)輔助設(shè)計相配合，將設(shè)計的機(jī)件或零件以程序形式輸入計算機(jī)系統(tǒng)，即可控制自動繪圖儀，輸出所需要的圖樣。現(xiàn)代已經(jīng)可以直接使用設(shè)計圖用靜電復(fù)印機(jī)復(fù)制成透明底圖或藍(lán)圖; 也可以用微縮技術(shù)將設(shè)計圖保存在特制的膠片上，隨時可以調(diào)出放大并復(fù)制成所需要的大小的藍(lán)圖。
方法
投影法
投影法是從光線照射空間形體在平面上獲得陰影這一物理現(xiàn)象而來的。以光源S點為投影中心，S點與形體上某個A點的連線SA為投影線（即光線），顯現(xiàn)陰影的P平面為投影面，SA投影線與P平面的交點ɑ就是A點在投影面上的投影。依此方法作出形體上其余點、線的投影，便得到形體在投影面上的投影(圖1a)。這種投影法因所有投影線都經(jīng)過投影中心S點，故稱為中心投影法。若S點移向無限遠(yuǎn)處，即所有投影線都互相平行時，則稱為平行投影法。平行投影法又按投影線是否垂直于投影面分為斜投影法（圖1b）和正投影法（圖1c）。用中心投影法可以得到透視圖，用平行投影法可以得到軸測圖，這兩種圖的立體感都很好。為顯示形體的立體形象，在建筑工程中常使用透視圖，在機(jī)械工程中常使用軸測圖。用正投影法將空間形體（一般是地形或曲面）投影到水平放置的投影面上，并在相應(yīng)點、線的投影旁加注它們到投影面的高度數(shù)值，這種圖稱為標(biāo)高投影圖。它應(yīng)用在地形測量、土木、水利、地質(zhì)和采礦等工程中。以上3種圖都是單面投影圖。用空間形體的幾個正投影聯(lián)合表達(dá)其形狀和位置的圖稱為多面正投影圖。這種圖廣泛應(yīng)用在各項工程中。
多面正投影圖
空間形體具有長、寬、高三個方向的形狀大小，但它的投影只能反映兩個方向的形狀大小。為確切和全面地表達(dá)空間形體，必須采用多面正投影圖。
取互相垂直的兩個投影面（正立投影面和水平投影面），用正投影法分別作出空間形體（圖2中為三棱錐）在正面和水平兩個投影面上的投影（圖2中黑色圖形部分）。再將水平投影面繞兩投影面的交線OX向下旋轉(zhuǎn)90°，使它和正立投影面處在同一平面上，則得到空間形體的二面正投影圖。在二投影面的基礎(chǔ)上增加一個與正立投影面和水平投影面都垂直的側(cè)立投影面，再作出形體的側(cè)面投影（圖2中顏色圖形部分），然后將側(cè)立投影面繞它和正立投影面的交線OZ向右旋轉(zhuǎn)90°，使它也與正立投影面處在同一平面上即可得到空間形體的三面正投影圖。多面正投影圖可以確切地表達(dá)空間形體的形狀和位置。特別是當(dāng)形體上直線、平面等處在與投影面平行或垂直的某個特殊位置時，還能在其投影中反映出平面圖形的實際形狀，以及線、面或兩面間夾角的真實大小。對于不處在特殊位置的線和面，就不具有上述特征，這時需要采用投影變換的方法解決。
投影變換
投影變換是通過改變空間形體和投影面的相對位置使問題得以解決的新投影方法。投影變換主要有換面法和旋轉(zhuǎn)法。
①換面法：空間形體不動，用新的符合解題要求的投影面來替換原有的投影面，得出空間形體新的投影。例如，在圖3中，三角板在采用換面法前與正立投影面傾斜，與水平投影面垂直，它的正立、水平兩個投影都不反映三角板的真實形狀。改用垂直于水平投影面并平行于三角板的新投影面來替換原有的正立投影面，則在新投影面和水平投影面的二面正投影圖中便反映出三角板的真實形狀。換面法的變換規(guī)律是：點的新投影到新投影軸的距離等于點的被替換投影到被替換軸的距離。
②旋轉(zhuǎn)法：保持投影面不動，讓空間形體繞某條軸線旋轉(zhuǎn)到需要的位置，求出新的投影。例如，圖3中，若將三角板繞其本身的垂直于水平投影面的直角邊旋轉(zhuǎn)到與正立投影面平行的位置，這時新的正立投影就能反映三角板的真實形狀。
截交線和相貫線
平面與空間形體表面的交線稱為截交線，兩空間形體表面的交線稱為相貫線。在很多情況下雖然能根據(jù)空間形體和投影面的相對位置作出空間形體的多面正投影圖，但它們之間的截交線和相貫線卻不能直接畫出，需要借助于輔助面法或其他作圖方法畫出。
展開圖
將空間形體的表面在平面上攤平后得到的圖形稱為展開圖。對于用板料制作的零件，除需要用多面正投影圖表示零件的形狀外，還常用展開圖表示零件制作前板料的形狀。依據(jù)空間形體的多面正投影圖繪制其展開圖，實質(zhì)上就是求取其表面的真實形狀，這可以通過圖解或計算的方法得到。
學(xué)習(xí)須知
學(xué)習(xí)方法
1、畫法幾何是按點、線、面、體，由簡及繁、由易到難的順序編排的，前后聯(lián)系十分緊密。學(xué)習(xí)時必須對前面的基本內(nèi)容真正理解，基本作圖方法熟練掌握后，才能往下做進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。
2、由于畫法幾何研究的是圖示法和圖解法，涉及到的是空間形體與平面圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，所以，學(xué)習(xí)時必須經(jīng)常注意空間幾何關(guān)系的分析以及空間幾何元素與平面圖形的聯(lián)系。對于每一個概念、每一個原理、每一條規(guī)律、每一種方法都要弄清楚它們的意義和空間關(guān)系，以便掌握這些基本內(nèi)容并善于運用它們。
3、學(xué)習(xí)時不能單純閱讀書本，必須同時用直尺和圓規(guī)在紙上進(jìn)行作圖。還可以借助鐵絲、硬紙板等物品做一些簡單的模型，幫助理解書上所講的內(nèi)容和習(xí)題。書上的例題在通過自己的作圖并獲得正確的結(jié)果后，才能驗證是否真正理解并記住這些作圖方法。
4、解題時，首先要弄清哪些是已知條件，哪些是需要求作的。然后利用已學(xué)過的內(nèi)容進(jìn)行空間分析，研究怎樣從已知條件獲得所要求作的結(jié)果，要通過哪些步驟才能達(dá)到最后的結(jié)果。初學(xué)時可以把這些步驟記錄下來。最后利用基本作圖方法按照所確定的解題步驟一步步地進(jìn)行作圖，作圖時力求準(zhǔn)確。完成后還應(yīng)做一次全面的檢查，看作圖過程有沒有錯誤，作圖是否精確等。
學(xué)習(xí)要求
由于畫法幾何所研究的是空間形體與它在平面上的圖形之間的關(guān)系，因而在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生對三維形狀和相關(guān)位置的空間邏輯思維和形象思維能力方面起著極其重要的作用。
在這里，圖形是直接用來研究空間形體的幾何形狀和解決空間幾何問題的工具，因此，對畫法幾何在平面上的圖形有一系列的要求。主要有：
1、圖形應(yīng)當(dāng)具有可逆性，也就是說，根據(jù)圖形能夠準(zhǔn)確地恢復(fù)所畫形體的形狀和大小
2、圖形在滿足其功能的前提下具有一定的直觀性，以便根據(jù)圖形能比較容易地想象出所畫的形體的形狀和大小
3、繪制圖形應(yīng)較為簡便
4、圖形以及由之進(jìn)行的作圖應(yīng)足夠準(zhǔn)確
上述對圖形的要求，有時可能有矛盾，這就應(yīng)根據(jù)圖形所要滿足的條件來確定采用哪種圖示方法。
參考資料 >