在圖論中，連通圖基于連通的概念。在一個無向圖G中，若從頂點vi到頂點vj有路徑相連（當然從vj到vi也一定有路徑），則稱vi和vj是連通的。如果G是有向圖，那么連接vi和vj的路徑中所有的邊都必須同向。如果圖中任意兩點都是連通的，那么圖被稱作連通圖。如果此圖是有向圖，則稱為強連通圖（注意：需要雙向都有路徑）。圖的連通性是圖的基本性質。連通度是指為了讓圖分解成孤立的子圖所要刪除的頂點數的最小值，是刻畫網絡的一個重要指標。
嚴格定義
對一個圖G=(V,E)中的兩點x和y，若存在交替的頂點和邊的序列Γ=(x=v0-e1-v1-e2-...-ek-(vk+1)=y)(在有向圖中要求有向邊vi?(vi+1)屬于E)，則兩點x和y是連通的。Γ是一條x到y的連通路徑，x和y分別是起點和終點。當x=y時，Γ被稱為回路。如果通路Γ中的邊兩兩不同，則Γ是一條簡單通路，否則為一條復雜通路。如果圖G中每兩點間皆連通，則G是連通圖。
相關概念
連通分量：無向圖 G的一個極大連通子圖稱為 G的一個連通分量（或連通分支）。連通圖只有一個連通分量，即其自身；非連通的無向圖有多個連通分量。
強連通圖：有向圖 G=(V,E) 中，若對于V中任意兩個不同的頂點 x和 y，都存在從x到 y以及從 y到 x的路徑，則稱 G是強連通圖。相應地有強連通分量的概念。強連通圖只有一個強連通分量，即是其自身；非強連通的有向圖有多個強連分量。
單向連通圖：設G=是有向圖，如果u->v意味著圖G至多包含一條從u到v的簡單路徑，則圖G為單連通圖。
弱連通圖：將有向圖的所有的有向邊替換為無向邊，所得到的圖稱為原圖的基圖。如果一個有向圖的基圖是連通圖，則有向圖是弱連通圖。
初級通路：通路中所有的頂點互不相同。初級通路必為簡單通路，但反之不真。
性質
一個無向圖G=(V,E)是連通的，那么邊的數目大于等于頂點的數目減一：|E|>=|V|-1，而反之不成立。
如果G=(V,E)是有向圖，那么它是強連通圖的必要條件是邊的數目大于等于頂點的數目：|E|>=|V|，而反之不成立。
沒有回路的無向圖是連通的當且僅當它是樹，即等價于：|E|=|V|-1。
參考資料 >