線性陣不等式被廣泛用來解決系統(tǒng)與控制中的一些問題，隨著求解線性矩陣不等式的內(nèi)點(diǎn)法的提出、MATLAB 軟件中LMI 工具箱的推出，線性矩陣不等式這一工具越來越受到人們的關(guān)注和重視，應(yīng)用線性矩陣不等式來解決系統(tǒng)和控制問題已成為一大研究熱點(diǎn)。
不等式定義
具有下列形式的矩陣不等式稱為線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)或嚴(yán)格線性矩陣不等式
其中，是個(gè)實(shí)數(shù)變量，稱為線性矩陣不等式(1)的決策變量；是決策變量構(gòu)成的決策向量。 ，是給定的實(shí)對(duì)稱矩陣。表示矩陣 是負(fù)定的，即對(duì)于任意的非零向量 有，或者 的最大特征值小于零。而若下列矩陣不等式的成立
則稱為非嚴(yán)格線性矩陣不等式。
不等式的發(fā)展
線性矩陣不等式的發(fā)展可以分為三個(gè)階段：
最早的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析的LMI 方法可以追溯到100 多年以前。1890 年Lyapunov 在他出版的被稱為Lyapunov 理論的著作中，提出了微分方程
的穩(wěn)定條件：當(dāng)且僅當(dāng)存在對(duì)稱正定矩陣，使得。它是LMI的一種特殊形式稱為Lyapunov不等式。
LMI 發(fā)展的第二個(gè)里程碑是在二十世紀(jì)40 年代。當(dāng)時(shí)，蘇聯(lián)科學(xué)家Lur’e，Postnikov 及其他學(xué)者將Lyapunov 方法應(yīng)用于控制工程中的一些經(jīng)典問題，尤其是當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有非線性時(shí)滯時(shí)的穩(wěn)定性，雖然他們沒有形成精確的矩陣不等式，但是所提出的穩(wěn)定性準(zhǔn)則具有LMI 的雛形。“Lyapunov 理論可以應(yīng)用于控制工程中的重要問題”這一新想法使Lur’e，Postnikov 等人受到啟發(fā)，將Lyapunov 理論應(yīng)用于解決實(shí)際控制工程問題，解決LMI 問題的思想可以歸結(jié)于利用手工分析式的求解，當(dāng)然其應(yīng)用僅限于小系統(tǒng)。
LMI 發(fā)展的第三個(gè)里程碑是在二十世紀(jì)60 年代.Popov，Yakuovichl 及其它學(xué)者利用正實(shí) (Positive Real-PR) 引理簡化Lur’e 問題，應(yīng)用圖形原則進(jìn)行求解，產(chǎn)生了Popov 判據(jù)。這種判據(jù)可以應(yīng)用于高階系統(tǒng)，但不適合用于非線性系統(tǒng)。從LMI 的控制理論的發(fā)展觀點(diǎn)看，Yakuovichl，Popov 等人的貢獻(xiàn)在于給出了利用圖形方法解決LMI 問題。
70 年代，一些學(xué)者認(rèn)識(shí)到LMI 問題不僅可以通過圖形方法獲得求解，而且可以通過求解代數(shù)Riccati 方程 (Algebraic Riccati Equation-ARE) 獲得求解。1971 年一些學(xué)者得到求解經(jīng)典LMI 的方法，如圖形法以及Lyapunov 函數(shù)法。這些分析方法可以用于特殊形式的LMI 問題。
在LMI 歷史中最具實(shí)質(zhì)性的階段是80 年代，這期間提出了多種LMI 標(biāo)準(zhǔn)問題的數(shù)值解法，主要的LMI 求解算法有替代凸投影算法，橢球算法及內(nèi)點(diǎn)法。內(nèi)點(diǎn)法又分為中心點(diǎn)法，投影法，原始-對(duì)偶法，這些方法的共同思路都是把LMI 問題看成凸優(yōu)化問題處理。
1995 年MATLAB 推出了基于內(nèi)點(diǎn)法的求解LMI 問題的LMI 工具箱，使得求解高維的LMI 成為可能。這種統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)一解法的線性分析方法，設(shè)計(jì)規(guī)范的形式以及有效的數(shù)學(xué)計(jì)算工具包逐步研制成功，使得人們能夠更加方便和有效地處理，求解線性矩陣不等式，從而進(jìn)一步推動(dòng)了LMI 在系統(tǒng)和控制領(lǐng)域中的應(yīng)用。
表示的問題
系統(tǒng)與控制中的許多問題初看想來不是一個(gè)線性矩陣不等式問題，但通過適當(dāng)?shù)奶幚砜梢赞D(zhuǎn)換成一個(gè)線性矩陣不等式問題。下面給出一些典現(xiàn)例子。
1、多個(gè)線性矩陣不等式
表 示 一 個(gè) 線 性 矩 陣 不 等 式 系 統(tǒng)。引 進(jìn)，則 同時(shí)成立當(dāng)且僅當(dāng)。所以，一個(gè)線性矩陣不等式可以用來描述整個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)。
2、矩陣 Schur 補(bǔ)性質(zhì)可將非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)換成線性矩陣不等式問題。
對(duì)于矩陣，把 分塊得：
其中 是 維的。設(shè) 非奇異，那么 叫做 在 內(nèi)的Schur補(bǔ)。介紹矩陣的Schur 補(bǔ)性質(zhì)。
Schur補(bǔ)引理：對(duì)給定的對(duì)稱矩陣，其中 是 維的。以下三個(gè)條件是等價(jià)的：
(i) ；
(ii)
(iii)
3、S-procedure可以把非凸約束問題變換為LMI 約束問題。
對(duì)，假定 為 上的實(shí)值泛函，針對(duì)下述條件：
：對(duì)使得 , 的所有，有；
：存在標(biāo)量 , ，使得對(duì)任意的，
易知通過條件 可以導(dǎo)出條件。S-procedure在檢驗(yàn)條件 的準(zhǔn)確性后，再推測條件 是否成立。相比較，條件 比 容易判斷，所以，利用S-procedure能夠方便判斷條件 是否可行。
不等式問題
1、可行性問題（LMIP)：已知，是否能找到，滿足。若有，那么此線性矩陣不等式可行；若沒有，那么不可行。其中，MATLAB LMI工具箱提供的相應(yīng)的求解器為feasp。
2、特征值問題（EVP）：以某線性矩陣不等式約束為基礎(chǔ)，解最小化 的最大特征值問題，或者推出該約束為不可行的。它的一般形式是:
其可變換為下述問題，二者等價(jià)：
上式為特征值問題求解器能解決的規(guī)范表示。其中，MATLAB LMI工具箱提供的相應(yīng)的求解器為。
3、廣義特征值問題（GEVP）：已知某線性矩陣不等式約束，解如何最小化二仿射矩陣函數(shù)的最大廣義特征值。
已知維數(shù)相同對(duì)稱矩陣、，為一個(gè)標(biāo)量，若存在一個(gè)非零向量y ，滿足，那么標(biāo)量 叫作對(duì)稱矩陣 與 的廣義特征值，求解 問題變換為針對(duì)線性矩陣不等式約束的優(yōu)化分析：
其中，MATLAB LMI工具箱提供的相應(yīng)的求解器為gevp。
解決問題
在Matlab當(dāng)中，我們可以采用圖形界面的lmiedit命令，來調(diào)用GUI接口，同樣可以采用程序的方式。
對(duì)于LMI Lab，其中有三種求解器（solver）：feasp，mincx和gevp。
每個(gè)求解器針對(duì)不同的問題：
feasp：解決可行性問題（feasibility problem），例如：。
mincx：在線性矩陣不等式的限制下解決最小化問題（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制條件下。
gevp：解決廣義特征值最小化問題。例如：最小化lambda，在限制條件下。
要解決一個(gè)LMI問題，首要的就是要把線性矩陣不等式表示出來。
對(duì)于以下類型的任意的LMI問題
其中是結(jié)構(gòu)已經(jīng)事先確定的矩陣變量。左側(cè)和右側(cè)的外部因子（outer factors）N和M是給定的具有相同維數(shù)的矩陣。
左側(cè)和右側(cè)的內(nèi)部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同結(jié)構(gòu)的對(duì)稱塊矩陣。每一個(gè)塊由以及它們的轉(zhuǎn)置組合而成形成的。
應(yīng)用簡介
有一些有效率的數(shù)值方法可以判斷線性矩陣不等式是否可行（是否存在向量y使得），或解出有LMI限制條件的凸優(yōu)化問題。許多控制理論、系統(tǒng)識(shí)別及信號(hào)處理的最優(yōu)化問題都可以表示為線性矩陣不等式。線性矩陣不等式也可以應(yīng)用在Polynomial SOS中。原型的原始半定規(guī)劃及對(duì)偶半定規(guī)劃都是實(shí)線性函數(shù)的最小化，分別屬于控制此LMI的原始凸錐及對(duì)偶凸錐。
參考資料 >